Loi uniforme discrète

Loi uniforme discrète
Loi uniforme discrète
Densité de probabilité / Fonction de masse
Discrete uniform probability mass function for n=5
n=5 où n = b − a + 1
Fonction de répartition
Discrete uniform cumulative mass function for n=5
n=5 où n = b − a + 1. Par convention la fonction de répartition (de masse) Fk(ki) est la probabilité que k \ge k_i
Paramètres a \in (...,-2,-1,0,1,2,...)\!
b \in (...,-2,-1,0,1,2,...)\!
n=b-a+1\!
Support k \in \{a,a+1,...,b-1,b\}\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \begin{matrix} \frac{1}{n} & \mbox{pour }a\le k \le b\ \\0 & \mbox{sinon } \end{matrix}
Fonction de répartition \begin{matrix} 0 & \mbox{pour }k<a\\ \frac{k-a+1}{n} & \mbox{pour }a \le k \le b \\1 & \mbox{pour }k>b \end{matrix}
Espérance \frac{a+b}{2}\!
Médiane (centre) a+n/2\!
Variance \frac{n^2-1}{12}\!
Asymétrie 0\!
Kurtosis normalisé -\frac{6(n^2+1)}{5(n^2-1)}\!
Entropie \ln(n)\!
Fonction génératrice des moments \frac{e^{at}}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{kt}\!
Fonction caractéristique \frac{e^{iat}}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{ikt}\!
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En théorie des probabilités, la loi discrète uniforme est une loi de probabilité discrète indiquant une probabilité de se réaliser identique (équiprobabilité) à chaque valeur d’un ensemble fini de valeurs possibles.

Sommaire

Description

Une variable aléatoire qui peut prendre n valeurs possibles k1 ,k2 , ... , kn équiprobables, suit une loi uniforme lorsque la probabilité de n’importe quelle valeur ki  est égale à 1/n .

Un exemple simple de loi discrète uniforme est le lancer d’un dé honnête. Les valeurs possibles de k sont 1, 2, 3, 4, 5, 6; et à chaque fois que le dé est lancé, la probabilité d’un score donné est égale à 1/6.

Dans le cas où les valeurs d’une variable aléatoire suivant une loi discrète uniforme sont réelles, il est possible d’exprimer la fonction de répartition en termes de distribution déterministe ; ainsi

F(k;a,b,n)={1\over n}\sum_{i=1}^n H(k-k_i)

où H(x-x0 ) désigne la fonction marche de Heaviside, est la fonction de répartition (ou distribution cumulative) de la distribution déterministe centrée en x0 , aussi appelée masse de Dirac en x0 . Cela suppose que les hypothèses suffisantes soient vérifiées aux points de transition.

Cas général

Une variable aléatoire X prenant toutes les valeurs possibles d'un ensemble A (de cardinal #A=n ) avec équiprobabilité sera dite uniforme sur A.

Cas particulier important

La table ci-contre concerne la loi uniforme sur un ensemble de n entiers consécutifs, qui n'est qu'un cas particulier de loi uniforme, mais un cas particulier important : cela correspond à

\ A\ =\ [\![a,b]\!],\qquad n=b-a+1.

Calcul de probabilités et d'espérance (cas général)

Si X suit la loi uniforme sur un ensemble fini A, on dit parfois que la loi de X est \scriptstyle\ \mathbb{U}_A.\ On note

\ \mathbb{P}(X=x)\ =\ \mathbb{U}_A(\{x\})\ =\ \frac{1\!\!1_A(x)}{\#A},\

où \scriptstyle\ 1\!\!1_A(.)\ désigne la fonction indicatrice de l'ensemble A. D'un point de vue pratique,

\ \mathbb{P}(X\in B)\ =\ \sum_{x\in B}\,\frac{1\!\!1_A(x)}{\#A}\ =\ \frac{\#(A\cap B)}{\#A}.

Pour une fonction φ définie sur A, à valeurs réelles, on a :

\ \mathbb{E}\left[\varphi(X)\right]\ =\ \frac{1}{\#A}\sum_{x\in A}\,\varphi(x).

L'espérance de φ(X) est donc la valeur moyenne de φ sur A. En utilisant les notations classiques de théorie de la mesure, on traduira cela par :

\ \mathbb{P}_X\ =\ \mathbb{U}_A\ =\ \frac{1}{\#A}\sum_{x\in A}\,\delta_x,

où δx désigne la masse de Dirac en x, qui a pour fonction de répartition la fonction marche de Heavyside évoquée plus haut.

Voir aussi

Pages liées

v · Lois de probabilités
Lois discrètes
à support fini Loi de Bernoulli • Loi uniforme discrète • Loi binomiale • Loi hypergéométrique • Loi de Benford
à support dénombrable Loi géométrique • Loi de Poisson • Loi binomiale négative • Loi logarithmique
Lois continues
à support compact Loi uniforme continue • Loi triangulaire • Loi bêta
à support semi-infini Loi exponentielle • Loi Gamma • Loi du χ² • Loi de Fisher • Loi de Weibull • Loi de Rayleigh • Loi de Rice • Loi d'Erlang • Loi de Lévy • Loi inverse-gamma • Loi log-normale
à support infini Loi normale • Loi normale asymétrique • Loi de Cauchy • Loi de Laplace • Loi logistique • Loi de Student • Loi stable • Loi de Gumbel
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