Loi normale asymétrique

Loi normale asymétrique
Normale Asymétrique
Densité de probabilité / Fonction de masse
Probability density plots of skew normal distributions
Fonction de répartition
Cumulative distribution function plots of skew normal distributions
Paramètres \xi \, position (réel)
\omega \, échelle (réel positif)
\alpha \, forme (asymétrie) (réel)
Support x \in (-\infty; +\infty)\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{1}{\omega\pi} e^{-\frac{(x-\xi)^2}{2\omega^2}} \int_{-\infty}^{\alpha\left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)} e^{-\frac{t^2}{2}}\ dt
Fonction de répartition \Phi\left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)-2T\left(\frac{x-\xi}{\omega},\alpha\right)
T(h,a) est la fonction T d'Owen
Espérance \xi + \omega\delta\sqrt{\frac{2}{\pi}} où \delta = \frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^2}}
Variance \omega^2\left(1 - \frac{2\delta^2}{\pi}\right)
Asymétrie \frac{4-\pi}{2} \frac{\left(\delta\sqrt{2/\pi}\right)^3}{ \left(1-2\delta^2/\pi\right)^{3/2}}
Kurtosis normalisé 2(\pi - 3)\frac{\left(\delta\sqrt{2/\pi}\right)^4}{\left(1-2\delta^2/\pi\right)^2}
Fonction génératrice des moments \exp\left(\mu\,t+\sigma^2 \frac{t^2}{2}\right)\Phi(\sigma\delta t)
Fonction caractéristique \exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)(1+i\,\mathrm{erf}(\frac{\sigma\delta t}{\sqrt2}))
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En théorie des probabilités et en statistiques, la distribution normale asymétrique est une loi de probabilité continue qui généralise la distribution normale en introduisant une asymétrie non nulle.

Sommaire

Définition

Soit ϕ(x) la densité de probabilité de la loi normale centrée réduite

\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}

avec sa fonction de répartition donnée par

\Phi(x) = \int_{-\infty}^{x} \phi(t)\ dt = \frac{1}{2} \left[ 1 + \text{erf} \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right].

Alors la densité de probabilité de la distribution normale asymétrique de paramètre α est donnée par

f(x) = 2\phi(x)\Phi(\alpha x). \,

Pour ajouter un paramètre de position et un paramètre d'échelle à cela, on utilise la transformation usuelle x\mapsto \frac{x-\xi}{\omega}. On peut vérifier que l'on retrouve une distribution normale lorsque α = 0, et que la valeur absolue de l'asymétrie augmente lorsque la valeur absolue de α augmente. La distribution est asymétrique vers la droite si α > 0 et est asymétrique vers la gauche si α < 0. La densité de probabilité avec un paramètre de position ξ, un paramètre d'échelle ω, et un paramètre d'asymétrie α devient

f(x) = \left(\frac{2}{\omega}\right)\phi\left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)\Phi\left(\alpha \left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)\right). \,

Estimation

L'estimateur du maximum de vraisemblance pour ξ, ω, et α peut être calculé numériquement, mais il n'existe pas d'expression directe des estimateurs sauf si α = 0. Si l'on a besoin d'une expression explicite, la méthode des moments peut être appliquée pour estimer α à partir de l'asymétrie empirique de l'échantillon, en inversant l'équation d'asymétrie. Cela donne l'estimateur

|\delta| = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \frac{ |\hat{\gamma}_3|^{\frac{1}{3}} }{\sqrt{|\hat{\gamma}_3|^{\frac{2}{3}}+((4-\pi)/2)^\frac{2}{3}}}

où \delta = \frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^2}}, et \hat{\gamma}_3 est l'asymétrie empirique. Le signe de δ est le même que celui de \hat{\gamma}_3. Par conséquent, \hat{\alpha} = \delta/\sqrt{1-\delta^2}.


Voir aussi

Références

  • A. Azzalini, « A class of distributions which includes the normal ones », dans Scand. J. Statist., vol. 12, 1985, p. 171–178 

Liens externes

v · Lois de probabilités
Lois discrètes
à support fini Loi de Bernoulli • Loi uniforme discrète • Loi binomiale • Loi hypergéométrique • Loi de Benford
à support dénombrable Loi géométrique • Loi de Poisson • Loi binomiale négative • Loi logarithmique
Lois continues
à support compact Loi uniforme continue • Loi triangulaire • Loi bêta
à support semi-infini Loi exponentielle • Loi Gamma • Loi du χ² • Loi de Fisher • Loi de Weibull • Loi de Rayleigh • Loi de Rice • Loi d'Erlang • Loi de Lévy • Loi inverse-gamma • Loi log-normale
à support infini Loi normale • Loi normale asymétrique • Loi de Cauchy • Loi de Laplace • Loi logistique • Loi de Student • Loi stable • Loi de Gumbel
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