- Martingale (calcul stochastique)
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En calcul stochastique, une martingale désigne un type de processus stochastique, c'est-à-dire un processus aléatoire et dynamique. Ce type de processus X est tel que sa valeur espérée connaissant l'information disponible à une certaine date s, dénotée Fs, est la valeur à cette même date :
- E(Xt | Fs) = Xs (Avec
)
X est un processus adapté à la filtration F.
On parlera de sous-martingale si
et de sur-martingale si
.
Sommaire
Définitions
Processus stochastique
Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires, généralement indexée par
ou
.
Filtration
Une filtration est une suite croissante de tribus
, c'est-à-dire
Filtration naturelle
Soit
une suite de variables aléatoires. On dit que
définie par
est la filtration naturelle de la suite
.
Processus adapté
On dit que le processus
est adapté à la filtration
si Xn est
-mesurable pour tout entier n.
Martingale dans
Soit
une filtration.
Soit
une suite de variables aléatoires.
On dit que
est une martingale par rapport à
si:
est adaptée à la filtration
.
est intégrable pour tout entier n.
.
Si
respecte les deux premières conditions, et
alors on l'appelle sous-martingale, et si
, alors on l'appelle sur-martingale.
On dit que
est une
-martingale.
Processus prévisible
Soit
une filtration.
Soit
une suite de variables aléatoires.
On dit que
est processus prévisible si
est
-mesurable et
est
-mesurable pour tout entier n.
Historique du nom
Donnons ici une histoire anti-chronologique de l'histoire du nom (et non du concept) de martingale.(issu de cette note[1])
En Probabilité, la première apparition du mot martingale (et non du concept) se trouve dans la thèse[2] de Jean Ville (en 1939), au chapitre IV, paragraphe 3 dans l'expression : "système de jeu ou martingale". Il précise que ce terme est emprunté du vocabulaire des joueurs. Notons que la dénomination anglaise (martingale) a été reprise de la française par Joseph Leo Doob, alors rapporteur de la thèse de Ville.
La martingale dans les jeux
Dans le langage des jeux, la première fois qu’apparaît le terme martingale est en 1611 dans le dictionnaire franco-anglais de Randle Cotgrave[3]. L'expression "à la martingale" est définie avec les termes : absurdly, foolishly, untowardly, grossely, rudely, in the homeliest manner (absurde, stupide, fâcheusement , grossièrement, brutalement, de manière laide). Dans le dictionnaire[4] de l'Abbé Antoine François Prévost de 1750, est proposée une stratégie qui consiste pour le joueur à doubler sa mise à chaque perte "pour se retirer avec un gain sûr, supposé qu'il gagne une fois". On peut penser que cette stratégie peut être considérée comme absurde. Selon une expression provençale[5], jouga a la martegalo signifie : jouer de manière incompréhensible, absurde. Notons que le terme martingale fait son apparition dans le dictionnaire de l'académie française en 1762.La martingale est absurde?
Le terme martegalo se rapporte aux habitants de Martigues. La situation isolée de Martigues, au XVI-ième siècle, "a valu à ses habitants une réputation de naïveté proverbiale" ; on leur attribue une certaine "badauderie", de la "naïveté" ainsi que "des propos goguenards"[1].Propriétés
Propriété 1
Soit
une martingale.
On a
Autrement dit, la suite
est constante.
Exemples de martingales
exemple 1
Soit
une variable aléatoire intégrable et
.
Alors
est une
-martingale.
exemple 2
Soit
une suite de variables aléatoires indépendantes et centrées.
La suite
définie par
est une
-martingale avec
.
exemple 3
Soit (Xn)n une
-martingale, soit (Yn)n un processus borné prévisible par rapport à
.
Alors
définie par
est une
-martingale.
Exemple de martingale à temps continu
On peut par exemple définir des martingales avec des mouvements browniens. Ceci a de nombreux liens avec l'intégration stochastique. On commence par définir la filtration comme étant la filtration naturelle d'un mouvement brownien standard (Bt)t. Alors le processus stochastique
est une martingale. Ceci donne par ailleurs la décomposition de Doob de la sous-martingale
Les martingales et les temps d'arrêts
Théorème 1
Soit
une
martingale et
un temps d'arrêt.
Alors
est une martingale (appelée "martingale arrêtée").
Démonstration.
sont
-mesurable.
Donc
est
-mesurable
d'où
est intégrable.
Or
sont
-mesurable
, de même pour
.
Corollaire
Références
- [1]histoire des martingales, Roger Mansuy, Math. & Sci. hum. / Mathematical Social Sciences (43e année, n° 169, 2005(1), p. 105-113)
- Ville, J., Étude critique de la notion de collectif, Paris, Gauthier-Villars
- A Dictionarie of the French and English Tongues A Dictionarie of the French and English Tongues, Randle Cotgrave, édition originale de 1611.
- [2] Manuel lexique ou dictionnaire portatif des mots François (1750).
- [3], voir Lou Trésor dou Félibrige ou Dictionnaire de provençal-français (1879), de Frédéric Mistral pour les expressions provençales.
- Portail des probabilités et des statistiques
- E(Xt | Fs) = Xs (Avec
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