Martingale (calcul stochastique)

Pour les articles homonymes, voir martingale (homonymie).

En calcul stochastique, une martingale désigne un type de processus stochastique, c'est-à-dire un processus aléatoire et dynamique. Ce type de processus $X$ est tel que sa valeur espérée connaissant l'information disponible à une certaine date s, dénotée $F s$ , est la valeur à cette même date :

E (X t | F s) = X s

(Avec $s \leq t$ )

$X$ est un processus adapté à la filtration $F$ .

On parlera de sous-martingale si $E(X_t|F_s) \geq X_s$ et de sur-martingale si $E(X_t|F_s) \leq X_s$ .

Définitions

Processus stochastique

Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires, généralement indexée par $\mathbb R^+$ ou $\mathbb N$ .

Filtration

Une filtration est une suite croissante de tribus $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ , c'est-à-dire $\mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}_{n+1} \ \ \forall n \in \mathbb N$

Filtration naturelle

Soit $(X_n)_{n \ge 0}$ une suite de variables aléatoires. On dit que $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ définie par $\mathcal{F}_n = \sigma (X_1,\ldots ,X_n) \ \forall n \in \mathbb N$ est la filtration naturelle de la suite $(X_n)_{n \ge 0}$ .

Processus adapté

On dit que le processus $(X_n)_{n \ge 0}$ est adapté à la filtration $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ si $X n$ est $\mathcal{F}_n$ -mesurable pour tout entier n.

Martingale dans $\mathbb{N}$

Soit $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ une filtration.

Soit $(M_n)_{n \ge 0}$ une suite de variables aléatoires.

On dit que $(M_n)_{n \ge 0}$ est une martingale par rapport à $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ si:

$(M_n)_{n \ge 0}$ est adaptée à la filtration $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ .

$M_n \,$ est intégrable pour tout entier n.

$E(M_{n+1} | \mathcal{F}_n ) = M_n$ .

Si $(M_n)_{n \ge 0}$ respecte les deux premières conditions, et $E(M_{n+1} | \mathcal{F}_n ) \ge M_n \ \forall n$ alors on l'appelle sous-martingale, et si $E(M_{n+1} | \mathcal{F}_n ) \le M_n \ \forall n$ , alors on l'appelle sur-martingale.

On dit que $(M_n)_{n \ge 0}$ est une $\mathcal{F}_n$ -martingale.

Processus prévisible

Soit $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ une filtration.

Soit $(Y_n)_{n \ge 0}$ une suite de variables aléatoires.

On dit que $(Y_n)_{n \ge 0}$ est processus prévisible si $Y_0 \,$ est $\mathcal{F}_0$ -mesurable et $Y_{n+1} \,$ est $\mathcal{F}_n$ -mesurable pour tout entier n.

Historique du nom

Donnons ici une histoire anti-chronologique de l'histoire du nom (et non du concept) de martingale.(issu de cette note^[1])

En Probabilité, la première apparition du mot martingale (et non du concept) se trouve dans la thèse^[2] de Jean Ville (en 1939), au chapitre IV, paragraphe 3 dans l'expression : "système de jeu ou martingale". Il précise que ce terme est emprunté du vocabulaire des joueurs. Notons que la dénomination anglaise (martingale) a été reprise de la française par Joseph Leo Doob, alors rapporteur de la thèse de Ville.

La martingale dans les jeux
Dans le langage des jeux, la première fois qu’apparaît le terme martingale est en 1611 dans le dictionnaire franco-anglais de Randle Cotgrave^[3]. L'expression "à la martingale" est définie avec les termes : absurdly, foolishly, untowardly, grossely, rudely, in the homeliest manner (absurde, stupide, fâcheusement , grossièrement, brutalement, de manière laide). Dans le dictionnaire^[4] de l'Abbé Antoine François Prévost de 1750, est proposée une stratégie qui consiste pour le joueur à doubler sa mise à chaque perte "pour se retirer avec un gain sûr, supposé qu'il gagne une fois". On peut penser que cette stratégie peut être considérée comme absurde. Selon une expression provençale^[5], jouga a la martegalo signifie : jouer de manière incompréhensible, absurde. Notons que le terme martingale fait son apparition dans le dictionnaire de l'académie française en 1762.

La martingale est absurde?
Le terme martegalo se rapporte aux habitants de Martigues. La situation isolée de Martigues, au XVI-ième siècle, "a valu à ses habitants une réputation de naïveté proverbiale" ; on leur attribue une certaine "badauderie", de la "naïveté" ainsi que "des propos goguenards"^[1].

Propriétés

Propriété 1

Soit $(M_n)_{n \ge 0}$ une martingale.

On a $E(M_{n+1})=E(E(M_{n+1} | \mathcal{F}_n)) = E(M_n) = \ldots = E(M_0)$

Autrement dit, la suite $(E(M_n))_{n \ge 0}$ est constante.

Exemples de martingales

exemple 1

Soit $X \,$ une variable aléatoire intégrable et $X_n := E(X |\mathcal{F}_n)$ .

Alors $(X_n)_n \,$ est une $\mathcal{F}_n$ -martingale.

exemple 2

Soit $(X_k)_k \,$ une suite de variables aléatoires indépendantes et centrées.

La suite $(S_n)_n \,$ définie par $S_n := \sum_{k=1}^n X_k$ est une $\mathcal{F}_n$ -martingale avec $\mathcal{F}_n = \sigma (X_0,\ldots ,X_n)$ .

exemple 3

Soit $(X n) n$ une $\mathcal{F}_n$ -martingale, soit $(Y n) n$ un processus borné prévisible par rapport à $(\mathcal{F}_n)_n$ .

Alors $(Z_n)_n \,$ définie par $Z_n := Y_0 X_0 + \sum_{k=1}^n Y_k (X_k -X_{k-1})$ est une $\mathcal{F}_n$ -martingale.

Exemple de martingale à temps continu

On peut par exemple définir des martingales avec des mouvements browniens. Ceci a de nombreux liens avec l'intégration stochastique. On commence par définir la filtration comme étant la filtration naturelle d'un mouvement brownien standard $(B t) t$ . Alors le processus stochastique $(M_t=B_t^2-t)_t$ est une martingale. Ceci donne par ailleurs la décomposition de Doob de la sous-martingale $(B_t^2)_t$

Les martingales et les temps d'arrêts

Théorème 1

Soit $(M_n)_n \,$ une $\mathcal{F}_n$ martingale et $T \,$ un temps d'arrêt.

Alors $(M_{n\wedge T})_n \,$ est une martingale (appelée "martingale arrêtée").

Démonstration

$M_{n\wedge T} = \sum_{j=1}^{n-1} M_j*1_{(T=j)} + M_n*1_{(T \ge n)}$ .

$\forall k < n \ M_k \ et \ 1_{(T=j)}$ sont $\mathcal{F}_n$ -mesurable.

$(T \ge n)=(T < n )^c = (\bigcup_{k=0}^{n-1} (T=k))^c \in \mathcal{F}_n$

Donc $M_{n\wedge T} \,$ est $\mathcal{F}_n$ -mesurable

$|M_{n\wedge T} | \le |M_n|+|\sum_{j=1}^{n-1} M_j|$ d'où $M_{n\wedge T}\,$ est intégrable.

$E(M_{n+1\wedge T} |\mathcal{F}_n)= E(\sum_{j=1}^{n-1+1} M_j*1_{(T=j)} |\mathcal{F}_n) + E(M_{n+1}*1_{(T \ge n+1)} | \mathcal{F}_n)$

Or $M_j \ et \ 1_{(T=j)}$ sont $\mathcal{F}_n$ -mesurable $\forall j \le n$ , de même pour $1_{(T \ge n+1)}$ .

$E(M_{n+1\wedge T} |\mathcal{F}_n)= \sum_{j=1}^{n} M_j*1_{(T=j)} + 1_{(T \ge n+1)}*E(M_{n+1} | \mathcal{F}_n) = \sum_{j=1}^{n} M_j*1_{(T=j)} + 1_{(T \ge n+1)}*M_{n} = M_{n\wedge T}$

Corollaire

$E(M_0) = E(M_{n\wedge T})$

Références

↑ ^{a et b} [1]histoire des martingales, Roger Mansuy, Math. & Sci. hum. / Mathematical Social Sciences (43e année, n° 169, 2005(1), p. 105-113)
↑ Ville, J., Étude critique de la notion de collectif, Paris, Gauthier-Villars
↑ A Dictionarie of the French and English Tongues A Dictionarie of the French and English Tongues, Randle Cotgrave, édition originale de 1611.
↑ [2] Manuel lexique ou dictionnaire portatif des mots François (1750).
↑ [3], voir Lou Trésor dou Félibrige ou Dictionnaire de provençal-français (1879), de Frédéric Mistral pour les expressions provençales.

v · Probabilités et statistiques

Théorie des probabilités

Axiomes des probabilités • Espace probabilisable • Probabilité • Événement • Tribu • Indépendance

Probabilités élémentaires	Moyenne • Espérance • Médiane • Variance • Écart type
Loi de probabilité	Variable aléatoire • Loi de Bernoulli • Loi de Poisson • Loi uniforme • Loi normale • Loi de Student • Loi de Fisher • Variables iid
Convergence de lois	Théorème central limite • Loi des grands nombres • Théorème de Borel-Cantelli
Calcul stochastique	Marche aléatoire • Chaîne de Markov • Processus stochastique • Processus de Markov • Martingale • Mouvement brownien • Équation différentielle stochastique

Statistiques

Statistique descriptive	Échantillon • Quantile • Intervalle de confiance • Représentations de données • Histogramme • Diagramme circulaire • Boîte à moustaches • Régression linéaire • Méthode des moindres carrés
Statistique mathématique	Fonction de répartition empirique • Théorème de Glivenko-Cantelli • Inférence bayésienne
Tests statistiques	Test d’hypothèse • Hypothèse statistique • Estimateur • Test du χ² • Test t • Test de Fisher

Applications

Économétrie • Mécanique statistique • Jeu de hasard • Biomathématique • Mathématiques financières

Portail des probabilités et des statistiques

Catégorie :

Processus stochastique

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Martingale (calcul stochastique) de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

Calcul Stochastique — Le calcul stochastique est l’étude des phénomènes aléatoires dépendant du temps. À ce titre, il est une extension de la théorie des probabilités. Sommaire 1 Applications 2 Processus aléatoires 3 Filtrations … Wikipédia en Français
Calcul stochastique — Le calcul stochastique est l’étude des phénomènes aléatoires dépendant du temps. À ce titre, il est une extension de la théorie des probabilités. Sommaire 1 Applications 2 Processus aléatoires 3 Filtrations … Wikipédia en Français
Calcul sto — Calcul stochastique Le calcul stochastique est l’étude des phénomènes aléatoires dépendant du temps. À ce titre, il est une extension de la théorie des probabilités. Sommaire 1 Applications 2 Processus aléatoires 3 Filtrations … Wikipédia en Français
Martingale (homonymie) — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Une martingale est une technique permettant d augmenter les chances de gain aux jeux de hasard. Une martingale est une courroie destinée à limiter… … Wikipédia en Français
Processus stochastique — Pour les articles homonymes, voir Processus. Le calcul classique des probabilités concerne des épreuves où chaque résultat possible (ou réalisation) est mesuré par un nombre, ce qui conduit à la notion de variable aléatoire. Un processus… … Wikipédia en Français
Équation différentielle stochastique — Une équation différentielle stochastique (EDS) est une généralisation de la notion d équation différentielle prenant en compte un terme de bruit blanc. Les EDS permettent de modéliser des trajectoires aléatoires, tels des cours de bourse ou les… … Wikipédia en Français
PROBABILITÉS (CALCUL DES) — Le calcul des probabilités est certainement l’une des branches les plus récentes des mathématiques, bien qu’il ait en fait trois siècles et demi d’existence. Après s’être cantonné dans l’étude des jeux de hasard, il s’est introduit dans presque… … Encyclopédie Universelle
Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… … Wikipédia en Français
Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants … Wikipédia en Français
Espérance conditionnelle — L’espérance conditionnelle est un concept important en probabilités, notamment utilisé dans des domaines tels que l étude des martingales et l intégration stochastique. Sommaire 1 Définition générale 2 Cas particuliers 3 Interprétation … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Martingale (calcul stochastique)

Sommaire

Définitions

Historique du nom

Propriétés

Exemples de martingales

Les martingales et les temps d'arrêts

Références

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Martingale (calcul stochastique)

Sommaire

Définitions

Historique du nom

Propriétés

Exemples de martingales

Les martingales et les temps d'arrêts

Références

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link