- Support de mesure
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Dans un espace mesuré, le support d'une mesure est la partie de l'espace sur laquelle se concentre la mesure.
Définition
Soit μ une mesure positive définie sur la tribu borélienne d'un espace topologique. Le support de μ est l'ensemble des x tels que, pour tout ouvert U possédant x comme élément, μ(U) > 0. Il s'agit d'une partie fermée de l'espace. En effet, si x est adhérent au support de μ, tout ouvert U contenant x contient également un élément y du support, et par conséquent, μ(U) > 0. Donc x lui-même appartient au support.
Si la mesure est régulière, ou si l'espace est à base dénombrable, le support de μ est le complémentaire du plus grand ouvert O tel que μ(O) = 0.
Exemples
Dans le cas où la mesure est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue (voir le Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue pour plus de précisions), que ce soit une mesure de probabilité ou non, son support est égal au support de sa densité, pris à ce moment-là dans le sens du support d'une fonction.
Dans le cas d'une mesure de Dirac en un point a, le support est réduit au singleton {a}.
Article connexe
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