Drapeau (Mathématiques)

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Drapeau (mathématiques)

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Un drapeau d'un espace vectoriel de dimension finie E est une famille de sous espaces successifs de E, inclus les uns dans les autres, et dont les dimensions augmentent de 1 en 1.

Formellement, si E est de dimension n il s'agit d'une famille (E_{i})_{0 \leq i \leq n} de n+1 sous-espaces vectoriels de E telle que:

  • \forall i \in \{ 0, \ldots ,n \} , \, \dim (E_{i})=i
  • \{ 0 \} = E_{0} \subset E_{1} \subset \ldots \subset E_{n-1} \subset E_{n} = E

Exemple : si E est l'espace \R_n[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à n, les espaces \R_i[X] successifs pour i allant de 0 à n constituent un drapeau de E.

Sommaire

Base adaptée à un drapeau

À toute base (e_1,\ldots,e_n) de l'espace E de dimension finie est associé un drapeau constitué des espaces successivement engendrés : E_1={\mathrm {Vect}}(e_1), E_2={\mathrm {Vect}}(e_1,e_2),\ldots.

Réciproquement, un drapeau possède plusieurs bases adaptées. On les obtient en choisissant des vecteurs ei ainsi : ei appartient à Ei mais pas à Ei − 1.

Drapeau stable par un endomorphisme

Si u est un endomorphisme de E, alors on dit que le drapeau est stable par u si \forall i \in \{ 1, \ldots , n \} , \, u(E_{i}) \subset E_{i}.

Par exemple, si on reprend pour E l'espace \R_n[X] et le drapeau formé des espaces \R_s[X] successifs, un endomorphisme laisse stable ce drapeau à condition de diminuer (au sens large) le degré des polynômes. C'est le cas des endomorphismes de dérivation (P donne P'), de translation (P donne P(X+1)), etc...

Théorème de trigonalisation utilisant les drapeaux

Soit u un endomorphisme de E, espace vectoriel toujours supposé de dimension n. Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes:

  1. u est trigonalisable.
  2. Il existe un drapeau de E stable par u. (ou un drapeau u-stable)

Les drapeaux dans le cadre euclidien

L'espace est de dimension finie et, en outre, muni d'un produit scalaire. Le procédé de Gram-Schmidt permet, à partir d'une base adaptée à un drapeau de E, d'obtenir une base orthonormale adaptée à ce même drapeau.

Si on combine avec la propriété précédente, on constate que tout endomorphisme trigonalisable peut être trigonalisé en base orthonormale.

Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs Colinéarité • Indépendance linéaire • Famille libre • Rang • Famille génératrice • Base • Théorème de la base incomplète Mathématiques
Sous-espace Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension d'un espace vectoriel • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford
Enrichissements de structure Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau
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