Application transposée

Application transposée

En mathématiques, la notion d'application transposée relève de l'algèbre linéaire. À toute application linéaire u entre deux espaces vectoriels E et F est associée l'application transposée tu définie par

\forall \ell \in F^*, \qquad {}^t u(\ell)=\ell\circ u

C'est une application linéaire de F * , l'espace dual de F, dans E * , l'espace dual de E.

En employant la notation du crochet de dualité, la définition de l'application transposée peut être réécrite sous la forme

\forall x \in E, \forall \ell \in F^*, \qquad \langle {}^t u(\ell),x\rangle=\langle\ell,u(x)\rangle

L'application qui a une application linéaire associe sa transposée est appelée la transposition. À l'aide de la bilinéarité du crochet, on montre que l'application de transposition elle-même est une application linéaire de L(E,F) dans L(F * ,E * ).

L'application de transposition possède également des propriétés vis-à-vis de la loi produit. Lorsque v et u sont respectivement linéaires de E dans F et de F dans un troisième espace vectoriel G,

{}^t(u\circ v)={}^tv\circ {}^t u

Notamment si u est un isomorphisme d'espaces vectoriels, alors l'inverse de la transposée de u est égal à la transposée de l'inverse de u.

Application transposée en général

La notion de transposée intervient de façon beaucoup plus générale. Si on dispose d'une application f entre deux ensembles :

f:X\rightarrow Y

On en déduit pour tout ensemble Z une application f *  :

f^*:\mathrm{Hom}(Y,Z)\rightarrow \mathrm{Hom}(X,Z)

définie par f^*(g)=g\circ f où Hom(A,B) désigne l'ensemble des applications de A dans B.

Si X, Y et Z sont des groupes, on peut utiliser exactement la même définition pour construire

f^*:\mathrm{Hom}_{Groupe}(Y,Z)\rightarrow \mathrm{Hom}_{Groupe}(X,Z)

où cette fois HomGroupe(A,B) désigne l'ensemble des morphismes de groupe de A dans B.

On pourrait de même définir la transposée d'un morphisme d'anneaux, d'espace vectoriel d'espace topologique, etc...

Cette construction entre donc dans le cadre général de la théorie des catégories

Si \mathfrak{C} est une catégorie X, Y sont des objets de \mathfrak{C} et f est un élément de Hom(X,Y). Alors pour tout objet Z de \mathfrak{C}, il existe une application f * appelée transposée de f:

f^*:\mathrm{Hom}(Y,Z)\rightarrow\mathrm{Hom}(X,Z)

Voir aussi


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