Algèbre associative sur un anneau

Algèbre associative sur un anneau

Algèbre associative sur un anneau

En mathématiques, une algèbre associative sur un anneau est une structure algébrique sur un anneau commutatif unitaire A telle que B soit muni d'une structure de A-module et d'une structure d'anneau telle que la loi de multiplication de l'anneau soit A-bilinéaire.

Sommaire

Définition formelle

Soit A un anneau (commutatif, unitaire). On dit que (B,+,\cdot,\times) est une A-algèbre lorsque :

\bullet\ (B,+,\cdot) est un A-module,
\bullet\ (B,+,\times) est un anneau,
\bullet\ \forall \lambda \in A, \forall x, y \in B, \lambda \cdot (x \times y) = x \times (\lambda \cdot y) = (\lambda \cdot x) \times y

Les éléments de A sont appelés les scalaires.

Lorsque A est un corps commutatif, on parle alors d'algèbre (associative) sur un corps.

Exemples

  • Si (M , +, \cdot) est un A-module et A un anneau commutatif unitaire, l'ensemble des endomorphismes de module sur M est une A-algèbre
  • Tout anneau (M,+,\cdot) est une \mathbb{Z}-algèbre pour la loi externe définie par
\bullet\ \forall n \in \mathbb{Z}_+^*,\ n\cdot x= \underbrace{x+x+\ldots+x}_{n\ \mathrm{fois}}
\bullet\  n \cdot x=0\ \mathrm{pour}\ n=0
\bullet\  \forall n \in \mathbb{Z}_-^*,\ n\cdot x= \underbrace{-x-x-\ldots-x}_{|n|\ \mathrm{fois}}
  • L'ensemble des polynômes formels sur un anneau A commutatif unitaire est une A-algèbre.

Définition équivalente

Il existe une définition équivalente[1] :

Soit A un anneau commutatif (unitaire) et B un anneau, soit f:A->B un homomorphisme d'anneaux tel que f(A) soit dans le centre de B. On peut alors définir une loi de composition externe (a,b)\mapsto f(a)b qui munit B d'une structure de A-algèbre (associative).

Notes et références

  1. Définition utilisée par exemple par Serge Lang dans Algebra
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