Algèbre associative sur un anneau

En mathématiques, une algèbre associative sur un anneau est une structure algébrique sur un anneau commutatif unitaire $A$ telle que $B$ soit muni d'une structure de $A$ -module et d'une structure d'anneau telle que la loi de multiplication de l'anneau soit $A$ -bilinéaire.

Définition formelle

Soit $A$ un anneau (commutatif, unitaire). On dit que $(B,+,\cdot,\times)$ est une $A$ -algèbre lorsque :

$\bullet\ (B,+,\cdot)$ est un

A

-module,

$\bullet\ (B,+,\times)$ est un anneau,

$\bullet\ \forall \lambda \in A, \forall x, y \in B, \lambda \cdot (x \times y) = x \times (\lambda \cdot y) = (\lambda \cdot x) \times y$

Les éléments de $A$ sont appelés les scalaires.

Lorsque $A$ est un corps commutatif, on parle alors d'algèbre (associative) sur un corps.

Exemples

Si $(M , +, \cdot)$ est un $A$ -module et $A$ un anneau commutatif unitaire, l'ensemble des endomorphismes de module sur $M$ est une $A$ -algèbre
Tout anneau $(M,+,\cdot)$ est une $\mathbb{Z}$ -algèbre pour la loi externe définie par

$\bullet\ \forall n \in \mathbb{Z}_+^*,\ n\cdot x= \underbrace{x+x+\ldots+x}_{n\ \mathrm{fois}}$

$\bullet\ n \cdot x=0\ \mathrm{pour}\ n=0$

$\bullet\ \forall n \in \mathbb{Z}_-^*,\ n\cdot x= \underbrace{-x-x-\ldots-x}_{|n|\ \mathrm{fois}}$

L'ensemble des polynômes formels sur un anneau $A$ commutatif unitaire est une $A$ -algèbre.

Définition équivalente

Il existe une définition équivalente^[1] :

Soit A un anneau commutatif (unitaire) et B un anneau, soit f:A->B un homomorphisme d'anneaux tel que f(A) soit dans le centre de B. On peut alors définir une loi de composition externe $(a,b)\mapsto f(a)b$ qui munit B d'une structure de A-algèbre (associative).

Notes et références

↑ Définition utilisée par exemple par Serge Lang dans Algebra

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Alg%C3%A8bre associative sur un anneau ».

Catégorie : Structure externe

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Algèbre associative sur un anneau de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

Algèbre associative sur un corps — En mathématiques, une algèbre associative sur un corps (commutatif) est un espace vectoriel dans lequel est aussi définie une multiplication des vecteurs, qui possède les propriétés de distributivité, de bilinéarité et d associativité. Autrement… … Wikipédia en Français
Algebre sur un anneau — Algèbre sur un corps En mathématiques, une algèbre est une structure algébrique qui se définit comme suit: est une algèbre sur un corps , ou autrement dit une algèbre si : (E, +, ·) est un espace vectoriel sur la loi × est définie … Wikipédia en Français
Algèbre Sur Un Anneau — Algèbre sur un corps En mathématiques, une algèbre est une structure algébrique qui se définit comme suit: est une algèbre sur un corps , ou autrement dit une algèbre si : (E, +, ·) est un espace vectoriel sur la loi × est définie … Wikipédia en Français
Algèbre sur un anneau commutatif — Algèbre sur un corps En mathématiques, une algèbre est une structure algébrique qui se définit comme suit: est une algèbre sur un corps , ou autrement dit une algèbre si : (E, +, ·) est un espace vectoriel sur la loi × est définie … Wikipédia en Français
Algèbre associative — Pour les articles homonymes, voir Algèbre (homonymie). En mathématiques, une algèbre associative (sur un anneau commutatif A) est un anneau (ou simplement un pseudo anneau) B, muni d une structure supplémentaire de module sur A et tel que la loi… … Wikipédia en Français
Algèbre sur un anneau — Pour les articles homonymes, voir Algèbre (homonymie). En mathématiques, une algèbre sur un anneau commutatif est une structure algébrique qui se définit comme suit: est une algèbre sur l anneau commutatif , ou une … Wikipédia en Français
Algebre associative — Algèbre associative En mathématiques, une algèbre associative est un espace vectoriel dans lequel est aussi définie une multiplication des vecteurs, qui possède les propriétés de distributivité et d associativité. Définition Une algèbre… … Wikipédia en Français
Algèbre Associative — En mathématiques, une algèbre associative est un espace vectoriel dans lequel est aussi définie une multiplication des vecteurs, qui possède les propriétés de distributivité et d associativité. Définition Une algèbre associative A sur un corps… … Wikipédia en Français
Algebre sur un corps — Algèbre sur un corps En mathématiques, une algèbre est une structure algébrique qui se définit comme suit: est une algèbre sur un corps , ou autrement dit une algèbre si : (E, +, ·) est un espace vectoriel sur la loi × est définie … Wikipédia en Français
Algèbre (structure) — Algèbre sur un corps En mathématiques, une algèbre est une structure algébrique qui se définit comme suit: est une algèbre sur un corps , ou autrement dit une algèbre si : (E, +, ·) est un espace vectoriel sur la loi × est définie … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Algèbre associative sur un anneau