Forme bilinéaire

En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une forme bilinéaire est un type particulier d'application qui, à deux vecteurs d'un même espace vectoriel (sur un certain corps commutatif) associe un scalaire (c'est-à-dire un élément de ce corps).

Certaines formes bilinéaires sont de plus des produits scalaires. Les produits scalaires (sur les espaces vectoriels de dimension finie ou infinie) sont très utilisés, dans toutes les branches mathématiques, pour définir une distance.

La physique classique, relativiste ou quantique utilise ce cadre formel.

Sommaire 1 Motivations 1.1 Algèbre linéaire 1.2 Géométrie 1.3 Analyse fonctionnelle 1.4 Arithmétique 2 Définitions 2.1 Définitions générales 2.2 Définitions associées à l'orthogonalité 2.3 Définitions associées au cas où E est égal à F 3 Exemples 3.1 L'espace euclidien usuel 3.2 La forme bilinéaire duale 3.3 Un espace fonctionnel 4 Forme bilinéaire et application linéaire 4.1 Dual 4.2 Noyau 4.3 Orthogonalité 4.4 Applications linéaires de l'espace vers le dual 4.5 Représentation matricielle 5 Produit tensoriel 5.1 Construction de formes bilinéaires 5.2 Propriétés 5.3 Complexifié d'un espace vectoriel 5.4 Dimension trois 6 Espace vectoriel normé 6.1 Forme bilinéaire continue 6.2 Espace des formes bilinéaires continues 6.3 Orthogonalité 7 Références 8 Voir aussi 8.1 Articles connexes 8.2 Liens externes

Motivations

Les formes bilinéaires interviennent dans de nombreux domaines distincts des mathématiques. Elles forment une vaste classe d'outils utilisés pour résoudre des questions de natures très diverses.

Algèbre linéaire

Le domaine natif des formes bilinéaires est celui de l'algèbre linéaire. La notion de forme bilinéaire est définie sur les espaces vectoriels et se généralise sur les modules, structures de base de l'algèbre linéaire. Ces formes sont intimement liées aux applications linéaires. Le savoir associé à ces dernières permet d'éclairer la structure d'une forme bilinéaire et réciproquement les formes bilinéaires permettent d'élucider certaines particularités d'applications linéaires, par exemple dans le cas des endomorphismes autoadjoints.

Il existe un espace vectoriel particulier, jouant un grand rôle pour les formes bilinéaires : le dual. L'espace des formes bilinéaires est une copie exacte de celui des applications linéaires d'un espace dans un dual. La connaissance de la géométrie de l'espace ainsi que celle du dual permet d'élucider celle des applications linéaire de l'un vers l'autre et par la même occasion celle des formes bilinéaires. Dans le cas de la dimension finie, cette analyse est simple, le dual est une copie plus ou moins canonique de l'espace de départ.

Il existe une méthode générique pour construire des formes bilinéaires, le produit tensoriel fournissant un outil théorique pour démontrer certaines propriétés des formes bilinéaires. Il permet aussi de construire de nouveaux espaces vectoriels possédant une géométrie particulière dont les physiciens font grand usage. Ainsi le champ magnétique vérifie des propriétés de symétrie bien représentées par un espace particulier de formes bilinéaires. En plus de la structure d'espace vectoriel leur origine bilinéaire apporte des propriétés spécifiques, pour cette raison un nouveau terme est utilisé, celui de tenseur.

Géométrie

L'adjonction d'une forme bilinéaire bien choisie est source de formalisations de géométries. L'exemple le plus célèbre est peut-être celui des espaces euclidiens pour les espaces vectoriels sur le corps de nombres des réels dans le cas de la dimension finie. Cette forme bilinéaire appelée produit scalaire joue alors le même rôle que la forme bilinéaire canonique entre l'espace et son dual, permettant une formalisation plus concrète et plus facile d'accès.

Il n'est pas le seul exemple, un équivalent existe pour les nombres complexes. Un autre en dimension infinie existe avec les espaces préhilbertiens comportant un cas particulier essentiel, l'espace de Hilbert. En dimension finie, le choix d'une forme bilinéaire ayant d'autres propriétés permet de construire d'autres géométries. L'espace de Minkowski est construit à l'aide d'une approche de cette nature. Il offre un cadre géométrique à la théorie de la relativité restreinte.

L'influence des formes bilinéaires dans la géométrie ne se limite pas à la formalisation de nouveaux espaces. La relation entre certaines surfaces comme les quadriques et les formes bilinéaires est profonde. L'apport des différents outils provenant de l'algèbre linéaire permet une classification générale et pour une dimension quelconque.

Analyse fonctionnelle

Il est fructueux de considérer un ensemble de fonctions issu de l'analyse, comme par exemple les fonctions du segment [0,1] à valeurs réelles et infiniment dérivable. Un ensemble de cette nature est un espace vectoriel de dimension infinie, les résultats de l'algèbre linéaire fondée sur l'utilisation de bases de cardinaux finis ne s'appliquent plus. L'étude de formes bilinéaires sur les espaces de cette nature s'avère féconde.

Un outil devient essentiel pour l'étude d'espaces vectoriels de cette nature, la topologie. Elle induit naturellement une autre topologie sur le dual. Il existe un cas particulier analogue à celui de la dimension finie, celui où le dual est une copie de l'espace des fonctions. Tel est le cas par exemple pour l'ensemble des fonctions de [0,1] à valeurs réelles qui sont de carrés intégrable. Un tel espace peut être muni d'un produit scalaire, apportant un service analogue à celui des espace euclidiens, il porte le nom d'espace de Hilbert.

Dans le cas général, le dual possède une structure différente de celle de l'espace de départ. Une autre forme bilinéaire est utilisée, celle qui à un élément du dual f et à un élément de l'espace x associe f(x). L'étude d'une telle structure est plus simple si la topologie est issue d'une norme possédant au moins une bonne propriété, la complétude. Un tel espace est appelé espace de Banach. La forme bilinéaire canonique entre le dual et l'espace prend souvent le nom de produit scalaire.

Arithmétique

La démarche des mathématiciens ayant étudié les espaces fonctionnels consiste à retirer une hypothèse auparavant toujours utilisée, celle de la dimension finie. Elle est finalement féconde et de nombreux théorèmes en analyse fonctionnelle tirent leur origine de l'étude d'une forme bilinéaire, comme un produit scalaire analogue à celui des espaces euclidiens ou issu de la forme canonique entre un espace et son dual. Une autre hypothèse peut être retirée, celle qui garantit que tout nombre différent de zéro du corps sous-jacent à l'espace vectoriel possède un inverse pour la multiplication.

Un exemple étudié depuis longtemps est celui des équations diophantiennes. Certaines d'entre elles s'écrivent comme la recherche des racines d'une équation polynomiale à plusieurs variables et à coefficients entiers. Les solutions recherchées sont celles qui s'expriment uniquement avec des nombres entiers. Un exemple célèbre et difficile est le grand théorème de Fermat. L'équation s'écrit xⁿ + yⁿ = zⁿ. Les solutions peuvent être vues comme des points d'intersection entre Z³, où Z désigne l'ensemble des entiers, et une surface d'un espace géométrique de dimension trois. Un changement de repère permet parfois de simplifier l'expression d'une équation diophantienne. Pour être pertinent, ce changement de repère doit respecter la géométrie de l'espace. Il apparait comme une isométrie, c'est-à-dire une transformation respectant les distances et les angles, pour une bonne forme bilinéaire. Cette approche amène à l'étude des formes bilinéaires sur un module de dimension finie. « Module » signifie ici un quasi espace vectoriel, les scalaires ne sont simplement plus toujours inversibles. Ils peuvent, par exemple, se réduire à l'ensemble des entiers. Un exemple de cette nature est utilisé pour la démonstration du théorème des deux carrés de Fermat par Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).

Définitions

Les formes bilinéaires s'appliquent dans un contexte vaste, en conséquence de multiples définitions sont associées à ce concepts. Ce paragraphe en décrit certaines, qui s'appliquent dans de nombreuses situations. Il en existe d'autres, développés dans les articles dédiés.

Définitions générales

Une forme désigne en mathématiques une application d'un espace vectoriel dans son corps de nombre (le corps de nombre désigne l'ensemble des nombres définissant la multiplication externe des vecteurs, en général ce sont les nombres réels ou complexes). Une forme bilinéaire est une application définie sur un couple de vecteurs x et y, son espace de départ est le produit cartésien de deux espaces vectoriels E et F ayant le même corps de nombres. Lorsque E et F désignent le même ensemble, on parle de forme bilinéaire sur E. (x|y) est une notation fréquente pour désigner l'image du couple (x,y) par la forme bilinéaire ; elle est utilisée dans le reste de l'article.

La forme est dite linéaire pour sa première variable si pour tout y₀, l'application qui à x associe (x|y₀) est linéaire. De même la forme est dite linéaire pour sa deuxième variable si pour tout x₀, l'application qui à y associe (x₀|y) est linéaire. Si les deux propriétés précédentes sont vérifiées, alors la forme est dite bilinéaire.

• Soit (.|.) une application de ExF dans K. La fonction (.|.) est dite bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en ses deux variables.

Remarque : À toute forme bilinéaire sur un espace E est associée une forme quadratique. C'est l'application qui à un vecteur x associe le scalaire (x|x). Plus précisément, l'application qui, à chaque forme bilinéaire symétrique associe sa forme quadratique est un isomorphisme. L'isomorphisme réciproque associe à la forme quadratique χ la forme bilinéaire (.|.) définie par :

• La forme bilinéaire (.|.) définie par la ligne ci-dessus est dite forme polaire de la forme quadratique χ.

Remarque : Dans le cas des nombres complexes, il existe une autre forme disposant d'une linéarité différente et souvent plus intéressante, on parle alors de forme sesquilinéaire.

Par défaut, dans le reste de l'article E et F sont deux espaces vectoriels sur un même corps K et (.|.) désigne une forme bilinéaire. Une forme bilinéaire peut aussi être désignée par une lettre, par exemple b, alors (.|.)_b désigne aussi cette forme bilinéaire.

Définitions associées à l'orthogonalité

La notion d'orthogonalité entre deux vecteurs, pour une forme bilinéaire, généralise celle de perpendicularité dans le cas d'un espace euclidien.

• Deux vecteurs x de E et y de F sont dits orthogonaux si l'image du couple (x, y) par la forme bilinéaire est nulle.

• L'ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les éléments d'une famille Φ de vecteurs est un sous-espace vectoriel, appelé orthogonal de Φ et souvent noté .

Si E est égal à F et que la forme bilinéaire n'est pas symétrique, pour éviter les confusions, on parle d'orthogonal à droite et à gauche. Un cas particulier, l'orthogonal du vecteur nul, donne lieu à une définition spécifique.

• Le noyau à gauche d'une forme bilinéaire sur un espace ExF est le sous-espace , constitué des éléments x de E tels que :

On définit de même un noyau à droite .

Dans le cas où F=E, pour que les noyaux à gauche et à droites soient égaux, il n'est pas nécessaire que la forme soit symétrique ; il suffit qu'elle soit réflexive :

• Une forme bilinéaire est dite réflexive si la propriété suivante est vérifiée:

.

Définitions associées au cas où E est égal à F

Dans le cas ou E est égal à F, il existe des propriétés spécifiques pour les formes bilinéaires. Dans ce paragraphe, la forme bilinéaire est définie sur ExE. Elle est dite

• symétrique si :

,

• antisymétrique si :

,

• alternée si :

,

• définie si :

.

Toute forme alternée est antisymétrique. Si le corps n'est pas de caractéristique deux, alors les deux notions sont équivalentes. Dans le reste de l'article, le corps K est supposé de caractéristique différente de deux.

• Une forme bilinéaire symétrique ou antisymétrique est dite non dégénérée si :

.

Une forme bilinéaire symétrique définie est donc non dégénérée.

Pour la propriété suivante, le corps K est supposé totalement ordonné, comme par exemple celui des réels.

• Une forme bilinéaire est dite positive si :

.

Grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz, une forme (bilinéaire symétrique) positive non dégénérée est définie.

Exemples

L'espace euclidien usuel

L'espace R³ formé des triplets de nombres réels (x, y, z) peut être muni d'une forme bilinéaire nommée produit scalaire canonique. S'il est noté (.|.), il est défini par :

L'espace R³ muni de son produit scalaire est qualifié d'euclidien.

La forme bilinéaire duale

Un tel espace est équipé d'une autre forme bilinéaire importante définie à l'aide de l'espace dual R^3* . Il correspond à l'ensemble des formes linéaires, c'est-à-dire les applications linéaires de R^3* dans son corps de nombres R. Cette forme bilinéaire est l'application de R^3*xR³, qui au couple (d ^*, x) associe <d ^*, x> désignant l'image de x par la forme linéaire d ^*. À certains égards, elle ressemble à l'exemple précédent.

Soit (e₁, e₂, e₃) la base canonique de R³, notons d_i l'image <d ^*, e_i> de e_i par d ^* et d le vecteur de R³ (d₁, d₂, d₃). La propriété suivante est vérifiée :

Il existe donc une certaine équivalence entre les deux formes bilinéaires et toute forme linéaire est représentée par un vecteur de R³ à l'aide du produit scalaire.

Remarque : La notation <d ^*, x>_R³ désigne l'image de x par d ^* dans l'espace R³. Elle est appelée crochet de dualité. Quand il n'existe pas de risque d'ambiguité, le nom de l'espace vectoriel est omis. Cette notation est souvent utilisée pour la forme linéaire canonique entre un dual et son espace. On la trouve aussi dans la littérature pour désigner d'autres formes bilinéaires, comme des produits scalaires.

Un espace fonctionnel

Considérons maintenant l'espace E des fonctions continues du segment [0, 1] dans R. Une forme bilinéaire joue un rôle clé sur E. Elle est définie de la manière suivante :

Encore une fois l'espace E possède l'autre forme bilinéaire, celle définie sur E^*xE qui à tout couple d'un élément d ^* du dual de E et d'un élément f de E associe <d ^*, f> l'image par d ^* de f. Néanmoins la géométrie de E diverge de celle de l'exemple précédent. Soit δ la forme linéaire qui, à toute fonction f de E associe f(0). Elle correspond bien à un élément de E^*, mais ne peut pas se représenter par une fonction de E. Une telle forme linéaire porte le nom de fonction δ de Dirac. En un sens, le dual de E est trop vaste pour pouvoir être représenté par les fonctions de E.

Il n'est pas étonnant que des différences de cette nature retentissent sur l'étude des formes bilinéaires.

Forme bilinéaire et application linéaire

Dual

Le dual E^* est l'espace des formes linéaires de E dans K le corps sous-jacent de l'espace vectoriel E. Il existe une forme bilinéaire canonique sur E^*xE. elle associe à tout couple formé d'un élément du dual f ^* et d'un élément x de l'espace, l'image du vecteur par la forme linéaire.

• La forme bilinéaire canonique sur E^*xE est non dégénérée.

En effet par définition la seule forme linéaire nulle sur E est la forme nulle. Le noyau à gauche est donc réduit à la forme nulle. Si x est un vecteur non nul de E, il existe une forme linéaire qui vaut un en x et zéro sur un hyperplan supplémentaire de la droite engendrée par x. Le seul vecteur qui annule toutes les formes linéaires est donc le vecteur nul, ce qui montre que le noyau au droite est aussi réduit au vecteur nul.

Cette forme bilinéaire joue un rôle particulier, elle permet d'exprimer toutes les formes bilinéaires. Soit (.|.) une forme bilinéaire de ExF. Si x est un élément de E, alors ( x|. ) est un élément du dual de F. Soit φ₁ l'application de E vers F^*, qui à x associe la forme linéaire ( x|. ). On peut définir de même une application φ₂ de F vers le dual de E. On dispose des égalités suivantes :

• Les applications φ₁ et φ₂ sont linéaires.

Cette propriété est la conséquence directe de la bilinéarité de la forme (.|.).

Noyau

La structure des applications φ₁ et φ₂ permettent de comprendre la géométrie des noyaux :

• Le noyau de φ₁ (resp. φ₂) est le noyau à gauche (resp. à droite) de la forme bilinéaire.

Le corollaire immédiat est que les noyaux à gauche et à droite sont des sous-espaces vectoriels.

Soient N₁ (resp. N₂) le noyau à gauche (resp. à droite) de la forme bilinéaire et M₁ (resp. M₂) des supplémentaires de N₁ (resp. N₂). Leur l'existence dans le cas général suppose l'utilisation de l'axiome du choix.

• La restriction de la forme bilinéaire à M₁xM₂ est non dégénérée. Le projecteur p₁ (resp. p₂) sur M₁ (resp. M₂) parallèlement à N₁ (resp. N₂) vérifie la propriété suivante :

La forme bilinéaire se réduit à une forme non dégénérée une fois que les deux noyaux ont été retirés. Ce retrait permet toujours une détermination exacte de la forme bilinéaire. En dimension finie, la propriété suivante est vérifiée :

• La dimension de M₁ est égale à celle de M₂.

• La forme bilinéaire est non dégénérée si et seulement si φ₁ est un isomorphisme. Alors φ₂ est aussi un isomorphisme.

Orthogonalité

La notion de noyau peut être étendue :

• L'ensemble des vecteurs dont l'image par la forme bilinéaire avec tous les éléments d'une famille de vecteurs Φ de E est nulle est un sous-espace vectoriel de F appelée orthogonal de Φ. Cet ensemble est souvent noté .

L'orthogonal d'une famille de vecteurs de F est évidemment aussi un sous-espace vectoriel. Cet espace vectoriel contient le noyau à gauche de la forme bilinéaire. À l'aide de cette définition les noyaux apparaissent comme l'orthogonal des espaces E et F.

• L'orthogonal de est un sous-espace vectoriel contenant celui engendré par Φ.

• Soit E₁ et E₂ deux sous-espaces vectoriels de E, alors l'orthogonal de la somme de E₁ et E₂ est l'intersection des orthogonaux. L'orthogonal de l'intersection est la somme des orthogonaux :

En dimension finie, on dispose de plus de l'égalité suivante :

• La dimension de est la codimension de l'espace vectoriel engendré par Φ, si la forme bilinéaire est non dégénérée.

Un corollaire de ce cas particulier indique que l'orthogonal de est la somme l'espace vectoriel engendré par Φ et le noyau à gauche de la forme bilinéaire. On remarque que l'application qui, à un sous-espace de E contenant le noyau à gauche ou de F contenant le noyau à droite, associe son orthogonal est involutive. Un autre corollaire indique que, si E est égal à F et si la forme est non dégénérée, alors l'orthogonal d'un sous-espace est un supplémentaire.

Applications linéaires de l'espace vers le dual

Le paragraphe précédent montre l'existence d'une application canonique des formes bilinéaires de ExF vers l'espace des applications de E dans le dual F^*. Soit (.|.)_b une forme bilinéaire et ψ_1b l'application, qui à x élément de E associe la forme linéaire de F (x|.)_b. L'application ψ₁, qui à (.|.)_b associe ψ_1b est une fonction de L₂(ExF) dans L(E,F^*). On définit de même une application ψ₂ de L₂(ExF) dans L(F,E^*).

• L'ensemble des formes bilinéaires de ExF forme un espace vectoriel.

• L'application ψ₁ (resp. ψ₂) est un isomorphisme de L₂(ExF) dans L(E,F^*) (resp. L(F,E^*).

Montrons que ψ₁ est injective. Soit k un élément du noyau, alors ψ_1k a pour image par tout vecteur de E la forme linéaire nulle, par définition d'un élément du noyau, l'application est donc bien injective. Elle est aussi surjective, en effet, soit f une application de L(E,F^*), alors la forme bilinéaire qui au couple (x,y) associe <f(x), y> est un antécédent.

A la différence du paragraphe précédent, ce résultat ne tombe jamais en défaut, même en dimension infinie. Une forme bilinéaire b se représente ainsi par deux applications linéaires ψ_1b et ψ_2b. Elles sont liés par les égalités suivantes :

Les différents isomorphismes montrent que l'application qui à ψ_1b associe ψ_2b est un isomorphisme. On dit que ψ_2b est l'application linéaire transposée de ψ_1b. La définition est proche de celle plus topologique d'adjoint. L'application qui, à une application linéaire associe sa transposée, est un isomorphisme car composée d'isomorphismes.

En dimension finie, cette proposition possède le corollaire suivant :

• Si E et F sont de dimension finie alors la dimension de L₂(ExF) est le produit des dimensions de E et de F.

Cette proposition découle directement du fait que la dimension de l'espace des applications linéaires d'un espace de dimension finie dans un espace de dimension finie.

Représentation matricielle

Soient E, F deux espaces vectoriels de dimension finie, une base de E et une base de F. À toute matrice on peut associer une forme bilinéaire  : si x est un vecteur de E de coordonnées X dans et y un vecteur de F de coordonnées Y dans ,

,

les coordonnées X (resp. Y) étant disposées sous forme d'une matrice colonne de m (resp. n) éléments de K, et ^tX désignant la matrice ligne transposée de X.

Inversement, l'application bilinéaire φ détermine complètement la matrice A = (a_i,j), puisque a_i,j = φ(e_i,f_j).

Ceci permet de définir (les bases étant fixées) un isomorphisme entre et l'espace vectoriel des formes bilinéaires sur ExF.

La formule de changement de base pour les formes bilinéaires est différente de celle pour les applications linéaires : on pourra comparer les deux dans l'article Matrice de passage.

Produit tensoriel

Construction de formes bilinéaires

Si a^* (resp. b^*) est une forme linéaire de E (resp. de F), il existe une méthode simple de construire une forme bilinéaire sur ExF. Cette forme est notée a^*b^* et est définie par :

Cette opération s'appelle le produit tensoriel de a^* et b^*. L'espace E^*F^* désigne le sous-espace vectoriel de L₂(E,F) engendré par l'image du produit tensoriel. Un vecteur x de E peut être identifié à une forme linéaire sur E^*. En effet, à une forme linéaire a^*, elle associe le scalaire <a^*, x>. Cette remarque permet de considérer le produit tensoriel d'un élément de E et d'un élément de F qui est une forme bilinéaire sur E^*xF^*.

Le fait d'utiliser un espace ou son dual possède une signification profonde en physique. Pour cette raison, si l'ensemble de départ est un espace dual, les physiciens utilisent le terme de contravariant et dans le cas contraire de covariant. Le premier produit tensoriel présenté ici est deux fois contravariant.

Propriétés

L'image de E^*xF^* par le produit tensoriel n'est pas l'ensemble des formes bilinéaires de ExF, ce n'est pas non plus un espace vectoriel. En revanche il possède d'autres propriétés :

• L'application produit tensoriel de E^*xF^* dans L₂(E, F) est bilinéaire, commutative.

• L'égalité suivante (EF)^* = E^*F^* est vérifiée.

• L'image de E^*xF^* par le produit tensoriel est un cône. Il est générateur de L₂(E, F) si E et F sont de dimension finie.

Deux produits supplémentaires sont développés le produit extérieur et le produit symétrique. Appliqué à deux vecteurs a^* et b^* de E^* on obtient :

Produit symétrique :

Produit extérieur :

On obtient l'égalité :

• Le produit extérieur (resp. symétrique) a son image incluse dans les formes bilinéaires alternées (resp. symétrique).
• Les espaces vectoriels engendrés par les produits extérieurs et symétriques sont en sommes directes. En dimension finie, le premier espace est de dimension n(n - 1)/2 et le deuxième n(n + 1)/2.

Complexifié d'un espace vectoriel

Un exemple simple correspond au complexifié d'un espace vectoriel réel. Si E désigne un espace vectoriel réel, de dimension finie ou non, et si C l'ensemble des nombres complexes considéré ici comme un espace vectoriel réel de dimension deux. Le corps C est identifié avec son dual avec l'application qui à un complexe λ associe l'application μ → Reλ.Reμ+Imλ.Imμ. Alors CE est l'espace vectoriel des formes bilinéaires de CxE^* (la forme associée à E^* est un élément de E identifié au bidual). l'espace CxE^* est muni d'une multiplication naturelle sur C :

• Dans CE tout vecteur est somme d'un produit tensoriel de 1 et d'un vecteur de E et de i et d'un autre vecteur de E.

• Si (e_j) est une base de E, alors (1e_i) est une base de CE en tant que C espace vectoriel.

Il est fréquent que E soit identifié à 1E.

Dimension trois

Si E est un espace vectoriel de dimension trois, alors l'espace des formes bilinéaires alternées est aussi de dimension trois, car cet espace est de dimension n(n-1)/2. De même que le produit scalaire permet d'identifier un élément du dual avec un vecteur de l'espace, il est aussi possible d'identifier une forme bilinéaire alternée à un vecteur de E. L'application qui à trois vecteurs x, y, z associe le déterminant dans une base B : det (x, y, z)_B est une application trilinéaire alternée. Cette application ne dépend pas du choix de la base, à condition qu'elle soit orthonormale et orienté. Elle prend le nom de produit mixte, il est noté [x, y, z]. Il permet d'identifier un vecteur c de E à la forme m_c suivante :

Cette application m qui à un vecteur associe une forme bilinéaire alternée est un isomorphisme de E dans l'ensemble des formes bilinéaires alternée en dimension trois. À l'image de l'identification avec de E avec son dual grâce au produit scalaire. En dimension trois, les physiciens identifient E avec l'espace des formes bilinéaires alternées grâce à l'isomorphisme m. Ainsi, si a et b sont deux vecteurs de E et c le vecteur tel que ab est égal à m_c, les physiciens écrivent :

Si (.|.) désigne le produit scalaire de E, cette définition entraine :

Espace vectoriel normé

Pour aller plus loin dans l'étude des formes bilinéaires dans le cas de la dimension infinie, une hypothèse supplémentaire est utile. Elle consiste à associer à l'espace vectoriel une topologie. Un cas particulier fréquent est celui où cette topologie dérive d'une norme conférant à l'espace une structure métrique. Cas particulier de formes bilinéaires est particulièrement étudié, celui où elles sont continues. Dans ce contexte, les isomorphismes généraux sont des isométries et la complétude naturelle du dual topologique apporte des propriétés fortes à l'espace des formes bilinéaires. Les relations d'orthogonalités se précisent si une hypothèse supplémentaire est faite sur les sous-espaces vectoriel : la fermeture.

Dans ce paragraphe, E et F désigne deux espaces vectoriels normés sur un corps K égal à R ou C et donc complet. La forme bilinéaire dont on parle par défaut est toujours notée (.|.).

Forme bilinéaire continue

La continuité des formes bilinéaires suit des règles proches de celles des opérateurs, terme généralement utilisé pour désigner les applications linéaires lorsque la dimension n'est pas finie.

• Les quatre propositions sont équivalentes :

• La forme bilinéaire est continue en tout point de ExF.
• La forme bilinéaire est continue en (0,0)
• L'image du produit cartésien des deux boules unités est bornée.
• 

Les isomorphismes ψ₁ et ψ₂ offre une nouvelle condition nécessaire et suffisante pour la continuité de la forme bilinéaire :

• La forme bilinéaire b est continue si et seulement si ψ_1b l'est. Alors ψ_2b l'est aussi.

Si ψ_2b est continue, il est alors évident que la forme bilinéaire et ψ_1b le sont aussi.

• En dimension finie, toute forme bilinéaire est continue.

La situation est analogue à celle des opérateurs. En dimension finie, ils sont tous continus et dans le cas général, il existe une quadruple équivalence entre des propositions de la même nature que celles présentées ici.

• L'ensemble des formes bilinéaires continues est un sous-espace vectoriel de l'espace des formes bilinéaires.

Espace des formes bilinéaires continues

Le fait de munir E et F d'une norme et de limiter l'étude aux formes bilinéaires continues possède de multiple conséquences sur l'espace des formes bilinéaires. Dans ce paragraphe ne sont considérés que les applications linéaires, formes linéaires et formes bilinéaires continues.

• L'espace des formes bilinéaires sur ExF est normé par la norme des opérateurs.

Si suffit pour cela de définir la norme d'une forme bilinéaire de la borne supérieur de l'image de la valeur absolue ou du module de la forme bilinéaire sur le produit cartésien des deux boules unités.

Ici B_E(1) (resp. B_F(1)) désigne la boule unité de rayon un de E (resp. de F). Pour s'en convaincre, il suffit de remarquer que cette norme est l'image de la norme des opérateurs de L(E, F^*) par l'isomorphisme ψ₁, en conséquence :

• L' application ψ₁ (resp. ψ₂) est une isométrie de L₂(E,F;K) dans L(E,F^*) (resp. L(F,E^*)) si les espaces sont munis de la norme des opérateurs.

Si un espace est complet l'ensemble des applications linéaires continues dans cet espace est aussi complet (cette propriété est démontrée dans l'article Espace vectoriel normé). Comme K est complet L(F,K), c'est-à-dire F^* l'est aussi. L'espace vectoriel des opérateurs de E vers F^* munis de la normes des opérateurs est aussi complet, en conséquence :

• L'espace des formes bilinéaires sur ExF est complet.

Si F est complet et muni d'un produit scalaire (.|.), alors F est qualifié d'espace de Hilbert. Dans ce cas, le théorème de représentation de Riesz indique qu'il existe un isomorphisme isométrique entre F et son dual. C'est l'application qui à un vecteur x associe la forme (x|.), en conséquence :

• L'application qui à tout opérateur a de E vers F associe la forme bilinéaire noté (.|.)_a suivante est un isomorphisme isométrique.

La configuration est la même qu'en dimension finie.

Orthogonalité

L'orthogonalité prend une forme un peu différente pour les espaces topologiques. Ici la forme bilinéaire est toujours continue. Soit Φ une famille de E, alors :

• L'orthogonal de Φ est un sous-espace vectoriel fermé de F.

En effet, soit (u_n) une suite de limite u d'élément de l'orthogonal de F et x un élément quelconque de Φ, la continuité de la forme bilinéaire montre que :

La dernière implication montre le caractère fermé de l'orthogonal de Φ. Sa structure d'espace vectoriel est déjà démontrée.

Un argument analogue à celui du paragraphe sur les orthogonaux montre que l'orthogonal de contient l'adhérence de la somme de l'espace vectoriel engendré par Φ et du noyau à gauche de la forme bilinéaire. Cependant, l'égalité n'est pas toujours vraie. Les égalités entre la somme et l'intersection d'othogonaux reste valable car la démonstration n'utilise aucune hypothèse sur la dimension.

Références

• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
• J.-M. Arnaudiès et H. Fraysse Cours de mathématiques 4 : Algèbre bilinéaire et géométrie, Dunod, 1990
• C. Semay et B. Silvestre-Brac, Introduction au calcul tensoriel, application à la physique, Dunod, 2007 (ISBN 978-2-10-050552-4)
• Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]

Voir aussi

Articles connexes

• Forme multilinéaire
• Application bilinéaire
• Application multilinéaire

Liens externes

• Formes bilinéaires sur les-mathematiques.net. Ce site traite essentiellement de la dimension finie.
• Formes bilinéaires intégrales et opérateurs intégraux par Laurent Schwartz. Cet exposé traite uniquement d'un cas de dimension infinie.
• (en) Bilinear form de PlanetMath

v · Algèbre bilinéaire

Espace euclidien · Espace hermitien · Forme bilinéaire · Forme quadratique · Forme sesquilinéaire · Orthogonalité · Base orthonormale · Projection orthogonale · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Inégalité de Minkowski · Matrice positive · Matrice définie positive · Décomposition QR · Déterminant de Gram · Espace de Hilbert · Base de Hilbert · Théorème spectral · Théorème de Stampacchia · Théorème de Lax-Milgram · Théorème de représentation de Riesz

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