Forme bilinéaire anisotrope
- Forme bilinéaire anisotrope
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Vecteur isotrope
Définitions
Soit f une forme bilinéaire sur E. Soit x un vecteur de E. On dit que x est un vecteur isotrope pour f si et seulement si f(x,x) = 0.
Le vecteur nul est toujours isotrope
- Une forme bilinéaire qui n'admet que le vecteur nul comme vecteur isotrope est qualifiée d'anisotrope.
Propriétés
- Lorsque E est un espace vectoriel réel, une forme bilinéaire symétrique est anisotrope si et seulement si elle est strictement positive ou strictement négative, c’est-à-dire si si et seulement si c'est un produit scalaire au signe près.
En effet si x et y sont deux vecteurs tels que f(x,x) > 0 et f(y,y) < 0, on peut poser z = ax + y et on constate que f(z,z) = a2f(x,x) + 2af(x,y) + f(y,y) est un polynôme du second degré de discriminant négatif. D'autre part, z est non nul car x et y sont linéairement indépendant.
- lorsque E est un espace vectoriel complexe de dimension supérieure ou égal à 2, toute forme bilinéaire sur E admet au moins un vecteur isotrope.
Le raisonnement ci-dessus ne nécessite que de mineures adaptations.
- Pour une forme bilinéaire antisymétrique, tout vecteur est isotrope.
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