Identite de polarisation

Identite de polarisation

Identité de polarisation

En mathématiques, l'identité de polarisation concerne l'algèbre bilinéaire. Elle correspond à une caractérisation des formes symétriques, bilinéaires ou sesquilinéaires. Si E est un espace vectoriel ces formes sont des applications de ExE dans le corps de nombres sous-jacent. Elles sont intégralement caractérisées par leur comportement sur la diagonale, c'est-à-dire par la connaissance d'une telle forme φ sur l'ensemble des points (x, x) où x est un élément quelconque de E. L'application qui à x associe φ(x, x) est la forme quadratique associée. Il existe ainsi une équivalence entre les formes quadratiques et les formes symétriques.

Une identité de polarisation permet d'exprimer la forme bilinéaire à partir de la forme quadratique.

Sommaire

Identités de polarisation

Les Identités de polarisation sont de deux types différents, celles qui s'appliquent sur les formes bilinéaires et celles pour les formes sesquilinéaires.

Forme bilinéaire

Le contexte de l'identité de polarisation est celui d'un espace vectoriel E quelconque sur un corps K quelconque. Soit φ une forme quadratique sur E, non nécessairement définie et non nécessairement positive.

Définition —  On appelle identité polaire, une des deux égalités suivantes, définissant une forme symétrique ψ de ExE dans K :

\forall x,y\in E\quad \psi(x,y) = \frac12\bigl(\varphi(x+y)-\varphi(x)-\varphi(y)\bigr)
\forall x,y\in E\quad \psi(x,y) = \frac14\bigl(\varphi(x+y)-\varphi(x-y)\bigr)

En particulier, soit E un espace préhilbertien réel dont la norme d'un vecteur x est notée : \scriptstyle {\|x\|} et le produit scalaire de deux vecteurs x et y : \scriptstyle {(x|y)}. Les deux égalités suivantes sont vérifiées :

\forall x,y  \in E \quad (x|y) = \frac12\bigl(\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\bigr)\;\text{ou}\quad (x|y)= \frac14 \bigl( \|x+y\|^2 -\|x-y\|^2\bigr)

Ces résultats proviennent de la propriété suivante, si ψ est une forme bilinéaire de ExE quelconque :

\forall x,y\in E\quad \psi(x+y,x+y) = \psi(x,x) + \psi(y,y) + \psi(x,y) + \psi(y,x)

Et l'application qui à (x, y) associe ½(ψ(x, y) + ψ(y, x)) est symétrique.

Forme sesquilinéaire

Si le corps K sous-jacent à E n'est pas totalement ordonné, il n'est pas possible, dans le cas général, de définir l'équivalent d'une norme associée à une distance. Il existe néanmoins une solution si K est l'ensemble des nombres complexes. La forme doit alors être choisie sesquilinéaire. Dans ce paragraphe E est un espace vectoriel complexe :

Définition —  On appelle identité polaire, l' égalité suivante, définissant une forme sesquilinéaire symétrique ψ de ExE dans C :

\forall x,y\in E\quad \psi(x,y) = \frac14\bigl(\varphi(x+y)-\varphi(x-y)+ i\varphi(x+iy)-i\varphi(x-iy)\bigr)

Ici i désigne le nombre imaginaire pur. La remarque précédente s'applique encore, si E est un espace préhilbertien complexe et avec les notations du paragraphe précédent :

\forall x,y  \in E \quad (x|y) = \frac14 \bigl( \|x+y\|^2 -\|x-y\|^2 + i\|x-iy\|^2 -i\|x+iy\|^2\bigr)

Propriété

L'application qui, à une forme bilinéaire (resp. sesquilinéaire) associe sa forme quadratique est un isomorphisme. La forme polaire correspond à l'isomorphisme réciproque.

Il est possible d'aller plus loin à l'aide de la règle du parallélogramme.

Cas réel

Dans ce paragraphe E désigne un espace vectoriel réel. Si φ est une forme quadratique, elle vérifie l'égalité suivante dite, règle du parallélogramme :

\forall x,y \in E \quad  \varphi(x+y) + \varphi(x-y) = 2\bigl( \varphi(x) + \varphi(y)\bigr)

Il est naturel de se poser la question de savoir ce qu'il en est d'une norme quelconque satisfaisant cette égalité :

Théorème de Fréchet-Von Neumann-Jordan cas réel[1] —  Soit N une norme de E. N dérive d'un produit scalaire si et seulement si elle respecte l'identité du parallélograme. Le produit scalaire conférant à E le statut d'espace préhilbertien de norme N est donné par l'identité de polarisation.

\forall x,y \in E \quad \varphi (x,y) = \frac 14 \Big( N(x+y)^2 -N(x-y)^2 \Big)

Il n'est pas nécessaire d'imposer à N d'être une norme. Il suffit qu'elle soit strictement positive sur tout vecteur de E non nul, nulle pour le vecteur nul et continue.

La démonstration ne fait pas appel au caractère fini de la dimension de E. Elle est donc parfaitement générale.


Cas complexe

Dans ce paragraphe E désigne un espace vectoriel complexe. L'identité du parallélogramme est encore valable,

La situation est ici encore analogue à celle des espaces réels. La norme d'un produit hermitien le caractérise. Réciproquement une norme N satisfaisant la règle du parallélogramme est issue d'un produit scalaire. Ce résultat n'est pas uniquement vrai en dimension finie. Toute norme satisfaisant l'égalité du parallélogramme est issue d'un produit scalaire.

Théorème de Fréchet-Von Neumann-Jordan cas complexe —  Soit N une norme de E. N dérive d'un produit scalaire si et seulement si elle respecte l'identité du parallélograme. Le produit hermitien correspond alors à l'identité de polarisation et confère à E le statut d'espace préhilbertien de norme N.

Comme précédemment, la démonstration ne fait pas appel au caractère fini de la dimension de E.


Références et notes

Notes

  1. Cette dénomination est indiquée dans : Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions] p 87
  2. Cette démonstration se trouve aussi dans la référence précédente

Référence

  • Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]
  • K. Yosida Functional Analysis Springer 1980 (ISBN 3-540-10210-8)

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