Vecteur axial

Vecteur axial

Pseudovecteur

En physique et en mathématiques, un pseudovecteur ou vecteur axial est un objet mathématique qui se comporte de la même manière qu'un vecteur pour une rotation directe (conservant les angles orientés) mais qui change de sens lors d'une isométrie indirecte comme, en dimension 3, une inversion de tous les axes ou une symétrie par rapport à un plan.

Ce changement de sens se traduit dans une base orthonormale par un changement de signe des coordonnées du pseudovecteur. On parle de pseudovecteurs en opposition aux vecteurs dits vrais ou polaires, qui sont invariants par une telle inversion.

Les règles de calcul concernant les pseudovecteurs sont ainsi différentes de celles des vecteurs vrais. La raison en est qu'un pseudovecteur, même s'il possède comme un vecteur trois composantes liées au système de coordonnées choisi, n'est pas un vecteur, mais un objet mathématique appelé forme différentielle de degré 2 (ou 2-forme), que l'on peut représenter comme une matrice tridimensionnelle et antisymétrique, possédant donc trois composantes indépendants.

Sommaire

Généralités

On rencontre fréquemment des pseudovecteurs construits à partir d'un produit vectoriel.

Si a et b sont deux vecteurs vrais, le l'objet p défini par

\boldsymbol p = \boldsymbol a \wedge \boldsymbol b,

est un pseudovecteur : si on transforme tous les axes en leurs opposés, les vecteurs sont transformés en leurs opposés. a est donc remplacé par -a et b par -b. Si p était un vecteur, son image par cette transformation devrait être -p, or, en utilisant la formule de calcul du produit vectoriel, on s'aperçoit que p est invariant par une telle transformation : p n'obéit donc pas à toutes les règles de calcul des vecteurs ; on dit que p est un pseudovecteur.

Ce concept peut être généralisé : on parlera de pseudoscalaires et de pseudotenseurs pour des quantités qui ne respectent pas toutes les règles de calcul des scalaires et des tenseurs.

L'opérateur rotationnel, produit vectoriel avec l'opérateur nabla, construit également des pseudovecteurs.

La notion de pseudovecteur est particulièrement importante dans l'analyse des propriétés de symétrie des champs de vecteurs. Ainsi, si le champ électrique E (vecteur vrai) possède les mêmes symétries que ses sources (un plan de symétrie des charges est plan de symétrie de E), le champ magnétique B inverse ces propriétés (un plan de symétrie des courants est plan d'antisymétrie de B).

Un pseudovecteur est un tenseur d'ordre 2 antisymétrique et possède trois composantes dans un espace à trois dimensions.

Types

Il existe trois types de pseudovecteurs construits par produit vectoriel :

  • les produits vectoriels de deux vecteurs, qui sont deux fois contravariant
  • les produits vectoriels d'un vecteur et d'un covecteur, qui sont 1 fois covariant, 1 fois contravariant
  • les produits vectoriels de deux covecteurs, qui sont deux fois covariant.

Le terme contravariant ou covariant fait référence à la manière dont réagissent les coordonnées du vecteur ou du covecteur lors d'un changment de base. Par exemple les coordonnées d'un vecteur évoluent inversement aux vecteurs de base. Les vecteurs sont donc dit contravariant. Les covecteurs, eux, sont covariant par rapport à la base des vecteurs. Cela pour assurer que le produit scalaire d'un vecteur et d'un covecteur soit bien scalaire, c'est-à-dire indépendant de la base des vecteurs.

Les pseudovecteurs des trois types appartiennent à des espaces vectoriels différents et l'addition de pseudovecteurs de types différents n'est donc pas permise.

Signification

Les pseudovecteurs peuvent être utilisés pour représenter

  • des angles dans un plan de l'espace (pseudovecteurs 1-fois covariant 1-fois contravariant : c'est-à-dire ceux dont la norme est un scalaire vrai, comme les angles). Intuitivement, ces pseudovecteurs correspondent à une notion d'angle dans un plan de l'espace.
  • des éléments de surfaces orientées dans l'espace (pseudovecteurs 2-fois contravariant : leur norme est un scalaire doublement contravariant, comme les aires)
  • une répartition surfacique en un point de l'espace. (pseudovecteurs 2-fois covariant, équivalents à des formes bilinéaires alternées)

L'idée qui relie les trois significations est celle de plan, de surface plane.

Exemples physiques

Exemples de pseudovecteurs en physique :

Ces trois pseudovecteurs sont 1 fois covariant, 1 fois contravariant. Leur norme est donc invariante par homothétie de la base, ce n'est pas le cas pour la norme des vecteurs.

Le produit vectoriel du pseudovecteur vitesse angulaire et du vecteur rayon jusqu'au centre de rotation donne la vitesse du point considéré : c'est la formule de Varignon.

Le produit vectoriel du pseudovecteur accélération angulaire et du rayon vecteur donne l'accélération du point considéré.

Règles de calcul

On portera attention au fait que si les calculs sont effectués en base orthonormée, il peut y avoir confusion entre vecteur/covecteur/pseudovecteur. Ces règles de calcul peuvent servir à lever les ambiguïtés et pouvoir alors changer de base.

Produit vectoriel

  • Si a est un vecteur vrai et b un vecteur vrai, l'objet p tel que \boldsymbol p =\boldsymbol a \wedge \boldsymbol b est un pseudovecteur.
  • Si a est un vecteur vrai et b un pseudovecteur, l'objet p défini comme précédemment est un vecteur vrai.
  • De même, si a est un pseudovecteur et b un vecteur vrai, l'objet p défini comme précédemment est un vecteur vrai (c'est le cas du vecteur de Poynting en électromagnétisme).
  • Si a et b sont des pseudovecteurs, l'objet p défini comme précédemment est un pseudovecteur

Addition

  • L'addition ou la soustraction de deux pseudovecteurs est un pseudovecteur ;
  • L'opposé d'un pseudovecteur est un pseudovecteur ;
  • On n'additionne pas un pseudovecteur avec un vecteur ou un covecteur.
  • On n'additionne pas des pseudovecteurs de types différents.

Multiplication par un scalaire vrai

  • La multiplication d'un pseudovecteur par un scalaire vrai est un pseudovecteur de même type;
  • La multiplication d'un vecteur vrai par un scalaire est un vecteur vrai.
  • Par scalaire vrai, il faut comprendre un nombre totalement indépendant de la base des vecteurs. Dans ce cas là, on ne peut pas considérer le travail d'une force ou énergie par exemple comme un scalaire, puisque cette grandeur est doublement contravariante.

Produit scalaire

  • Le produit scalaire d'un vecteur vrai et d'un covecteur est un scalaire vrai
  • Le produit scalaire d'un pseudovecteur doublement contravariant et d'un pseudovecteur doublement covariant est un scalaire vrai.
  • Le produit scalaire de deux vecteurs vrais, qui sont donc tous les deux contravariants, leur norme variant en sens contraire des vecteurs de base, est doublement contravariant. Ce n'est donc pas à proprement parler un scalaire. L'énergie est une grandeur physique de ce type, puisqu'elle est définie comme produit scalaire d'une force et d'un déplacement, tous deux vecteurs vrais.

Norme

La norme d'un pseudovecteur est

  • strictement scalaire si le pseudovecteur est du type (1,1) (1 fois contravariant, 1 fois covariant). Elle se calcule alors par la formule \sqrt{a^2+b^2+c^2} où a, b et c sont les coordonnées du pseudovecteur dans la base orthonormale choisie.
  • un nombre doublement contravariant si le pseudovecteur est de type (2,0)
  • un nombre doublement covariant si le pseudovecteur est du type (0,2).

Changement de base

Les pseudovecteurs obéissent à des formules de changement de base différentes de celle des vecteurs vrais.

Les bases des pseudovecteurs des trois types sont également différentes de la base duale (celle des covecteurs).

Les bases des pseudovecteurs sont différentes de celle des vecteurs vrais : en base orthonormée, cela se traduit par des changements de signe ; en base quelconque par des changements de toutes les coordonnées entre un vecteur et le pseudovecteur de même direction. Si on écrit pseudovecteurs et vecteurs vrais dans ce qui semble être une même base (i, j, k), il faudra de nouveau distinguer les bases lors d'opérations comme la symétrie plane. Et distinguer entre elles les bases des trois types de pseudovecteurs.

Produit mixte

Le produit mixte est défini par le déterminant

\mathrm{Det} \bigl(\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c\bigr) = \boldsymbol a \cdot (\boldsymbol b \wedge \boldsymbol c).

Si a est un pseudovecteur et b et c des vecteurs vrais, le résultat est un scalaire vrai. Dans les autres cas, il faut se référer à la définition du produit mixte.

Le produit mixte de trois vecteurs vrais est trois fois contravariant, comme les volumes. Il est cependant transformé en son opposé par une transformation qui transforme tous les axes en leurs opposés. Cette propriété n'est pas partagée par les volumes.

Torseurs

Rotationnel et Divergence

Rotationnel

Le rotationnel d'un champ de vrais vecteurs est un pseudovecteur. Ce pseudovecteur est du type 1 fois covariant, 1 fois contravariant.

En revanche, pour un champ de pseudovecteurs, il existe une contradiction entre deux approches.

  • Si on garde les mêmes formules que pour les vecteurs (alors qu'on travaille dans une autre base!), le rotationnel est un vrai vecteur. C'est la définition la plus courante. L'exemple le plus connu est celui des équations de Maxwell : le rotationnel du pseudo vecteur champ magnétique B est proportionnel au vecteur courant, qui est un vecteur vrai :
\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol B = \mu_0 \left( \boldsymbol j + \boldsymbol j_{\rm D} \right).
  • En suivant la deuxième approche, les pseudovecteurs se comportant dans tous les cas comme des tenseurs du second ordre antisymétrique, on les analyse comme tels. Et alors on utilise la définition du rotationnel donnée pour les tenseurs du second ordre. Il apparaît alors quelque chose d'extraordinaire : le rotationnel d'un champ de pseudovecteurs calculé suivant cette définition a la même formule dans la base canonique des pseudovecteurs, que la divergence pour les champs de vecteurs vrais dans la base canonique des vecteurs vrais. C'est-à-dire que l'appellation usuelle de l'opérateur rotationnel pour les champs de pseudovecteurs est la divergence. Et celà est toujours nul.

Divergence

La divergence d'un champ de vrais vecteurs est un scalaire. En revanche, la divergence d'un champ de pseudovecteurs est toujours nulle. C'est la définition la plus courante, l'exemple usuel étant, à nouveau, le champ magnétique.

Synthèse

  • Ce que l'on appelle communément rotationnel, a effectivement pour les vecteurs vrais la signification de rotationnel : les pseudovecteurs représente bien des rotations. Mais ceci a pour les pseudovecteurs la signication physique d'une divergence. Et pour les tenseurs du second ordre celle-ci est un vecteur.
  • Ce que l'on appelle communément divergence est toujours nul pour les pseudovecteurs.

Représentation matricielle

Un pseudovecteur peut être représenté par un tenseur antisymétrique d'ordre 2, qui correspond à la représentation d'un tenseur. avec 3 possibilités : soit le tenseur est 2 fois contravariant, soit 1 fois contravariant-1 fois covariant, soit 2 fois covariant ; seul le 2e cas correspond à une matrice usuelle, où l'action d'un tel tenseur sur un vecteur donne à nouveau un vecteur.

Dans ce cas, en base orthonormale, la matrice :

\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0\\ \end{pmatrix},

correspond au pseudovecteur usuellement représenté par :

\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}.

On peut aussi représenter les deux autres types de pseudovecteurs sous forme matricielle, mais ils réagissent aux changement de base comme des formes bilinéaires ou des aires.

Cette représentation par matrice carrée est particulièrement adaptée car

  • le produit vectoriel avec un vecteur vrai se traduit par une simple multiplication matricielle (attention cependant au signe, et à l'ordre des facteurs) ;
  • le produit vectoriel avec un autre pseudovecteur se traduit par le crochet de Lie des deux matrices. [A, B] = AB - BA ; il est nul si et seulement si les deux matrices commutent.
  • Les changements de base sont identiques aux changements de base des tenseurs d'ordre 2, voire à ceux des matrices quand il s'agit d'un tenseur 1 fois contravariant-1 fois covariant ;
  • elle permet de voir facilement qu'un pseudovecteur correspond à une matrice de rotation d'un quart de tour dans un plan suivie ou précédée d'une projection sur ce plan ;
  • en dimension 2, le produit vectoriel des deux vecteurs de base du plan correspond à une matrice antisymétrique :
\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}

Avec cette matrice, on peut représenter les nombres complexes. Le produit matriciel de cette matrice avec elle-même donne en effet l'opposé de la matrice identité. Et elle permet aussi par combinaison linéaire, de représenter les similitudes planes directes.

Exponentielle

L'exponentielle de la matrice qui représente des pseudovecteurs (1,1) en dimension 3 est une matrice de rotation, d'angle (en radian) \sqrt{a^2+b^2+c^2}, dont la direction est donnée par le pseudovecteur.

Généralisation : Tenseurs

Les notions de variance/covariance sont issues du formalisme des tenseurs.

Ce formalisme permet d'étendre les notions de vecteur, covecteur et pseudovecteurs à des espaces de dimension plus grande que 3.

Notation

A l'écrit, on peut distinguer pseudo- et vrais vecteurs en incurvant la flèche du pseudovecteur.

Voir aussi

Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs Colinéarité • Indépendance linéaire • Famille libre • Rang • Famille génératrice • Base • Théorème de la base incomplète Mathématiques
Sous-espace Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension d'un espace vectoriel • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford
Enrichissements de structure Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau
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