Vecteur aléatoire

Vecteur aléatoire

Un vecteur aléatoire est aussi appelé variable aléatoire multidimensionnelle

Sommaire

Définition

Un vecteur aléatoire est une généralisation à n dimensions d'une variable aléatoire réelle. Alors qu'une variable aléatoire réelle est une fonction qui à chaque éventualité fait correspondre un nombre réel, le vecteur aléatoire est une fonction X qui à chaque éventualité fait correspondre un vecteur de \R^n :

X:\omega\mapsto X(\omega)=(X_{1}(\omega),X_{2}(\omega),\dots ,X_{n}(\omega))

où ω est l'élément générique de Ω, l'espace de toutes les éventualités possibles.

Les applications X_{1},\dots, X_{n} sont des variables aléatoires réelles appelées composantes du vecteur aléatoire X. On note alors X=(X_{1},\dots, X_{n}).

Une application X de (\Omega,\mathcal{F}) (définie sur Ω), à valeurs dans l'espace \mathbb{R}^n muni de la tribu des boréliens de \mathbb{R}^n, est un vecteur aléatoire si elle est mesurable.

Fonction de répartition

Soit X=(X_{1},\dots, X_{n}) un vecteur aléatoire. Sa fonction de répartition F : \R^n \to \R est ainsi définie :

F(x_{1},\dots ,x_{n})=\mathbb{P}((X_{1}\leq x_{1})\cap \cdots \cap (X_{n}\leq x_{n}))

Indépendance de vecteurs aléatoires

Définition

Deux vecteurs aléatoires sont indépendants si et seulement si la probabilité que ces vecteurs prennent une valeur donnée soit égale au produit des probabilités que chaque vecteur prenne une valeur donnée.

Exemple

Soit (\Omega,\mathcal{T},\mathbb{P}) un espace probabilisé X(Ω) = {x1,...,xp}\\ Y(Ω) = {y1,...,yq}\\ Z(Ω) = {z1,...,zr}\\

\mathbb{P}(X=x_{i},Y=y_{i},Z=z_{i}) = \mathbb{P}(X=x_{i}).\mathbb{P}(Y=y_{i}).\mathbb{P}(Z=z_{i})

Vecteur gaussien

Un vecteur aléatoire de dimension n est un vecteur gaussien si toute combinaison linéaire de ses composantes est une variable gaussienne.

Définition — Soit \scriptstyle\ X = (X_{1},X_{2},...,X_{n}) un vecteur aléatoire. \scriptstyle\ X est gaussien si et seulement si, pour toute suite \scriptstyle\ a_{1},a_{2},...,a_{n} de nombres réels, la variable aléatoire

Z = a1X1 + a2X2 + ...anXn

est une variable gaussienne.

Bibliographie

  • Patrick Bogaert, Probabilités pour scientifiques et ingénieurs, De Boeck Université, 2006, Bruxelles
  • Alain Cambrouze, Probabilités1, Presses Universitaires de France, 1996, Paris
  • Yves Ducel , Introduction à la théorie mathématique des probabilités , Ellipses , 1998 , ISBN 2-7298-9820-4
  • Jean-Pascal Ansel , Yves Ducel , Exercices corrigés en théorie des probabilités , Ellipses , 1996 , ISBN 2-7298-4688-3

Liens internes

Liens externes

  • Portail des probabilités et des statistiques Portail des probabilités et des statistiques

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Vecteur aléatoire de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Vecteur d'initialisation — En cryptographie, un vecteur d initialisation (en anglais initialization vector ou IV) est un bloc de bits combiné avec le premier bloc de données lors d une opération de chiffrement. Il est utilisé dans le cadre des modes d opération d un… …   Wikipédia en Français

  • Variable aléatoire — Cet article concerne les variables aléatoires dans leur généralité. Pour les variables aléatoires à valeurs réelles, voir variable aléatoire réelle. Pour les variables aléatoires multivariées ou vecteurs aléatoires, voir vecteur aléatoire. Une… …   Wikipédia en Français

  • Optimisation aléatoire — L optimisation aléatoire (OA) est une famille de méthodes d optimisation numérique qui ne nécessite pas de connaître le gradient du problème pour être utilisée, comme dans le cas de fonctions non continues ou non différentiables. Ces méthodes… …   Wikipédia en Français

  • Marche aléatoire — Trois marches aléatoires (indépendantes) isotropes sur le réseau  ; 10 000 pas. En mathématiques, en économie, et en physique théorique, une marche au hasard est un modèle mathématique d un système possédant une dynamique discrète… …   Wikipédia en Français

  • Fonction aléatoire intrinsèque — Une fonction aléatoire intrinsèque d ordre k (en abrégé FAI k) est une classe de fonction aléatoire respectant certaines conditions. Cette propriété étend celle de fonction aléatoire intrinsèque. Une fonction aléatoire intrinsèque stricte est une …   Wikipédia en Français

  • Densite de probabilite — Densité de probabilité Pour les articles homonymes, voir Densité (homonymie). En théorie des probabilités ou en statistiques, une densité de probabilité est une fonction qui permet de représenter une loi de probabilité sous forme d intégrales.… …   Wikipédia en Français

  • Densité De Probabilité — Pour les articles homonymes, voir Densité (homonymie). En théorie des probabilités ou en statistiques, une densité de probabilité est une fonction qui permet de représenter une loi de probabilité sous forme d intégrales. Formellement, une loi de… …   Wikipédia en Français

  • Densité de probabilité — Pour les articles homonymes, voir Densité (homonymie). En théorie des probabilités ou en statistiques, une densité de probabilité est une fonction qui permet de représenter une loi de probabilité sous forme d intégrales. Formellement, une loi de… …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Loi normale — Distribution gaussienne Densité de probabilité / Fonction de masse La courbe rouge représente la fonction φ (voir texte), densité de probabilité d une variable suivant une loi normale centrée réduite Fonction de répartition …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”