Vecteur aléatoire

Vecteur aléatoire

Un vecteur aléatoire est aussi appelé variable aléatoire multidimensionnelle

Sommaire

Définition

Un vecteur aléatoire est une généralisation à n dimensions d'une variable aléatoire réelle. Alors qu'une variable aléatoire réelle est une fonction qui à chaque éventualité fait correspondre un nombre réel, le vecteur aléatoire est une fonction X qui à chaque éventualité fait correspondre un vecteur de \R^n :

X:\omega\mapsto X(\omega)=(X_{1}(\omega),X_{2}(\omega),\dots ,X_{n}(\omega))

où ω est l'élément générique de Ω, l'espace de toutes les éventualités possibles.

Les applications X_{1},\dots, X_{n} sont des variables aléatoires réelles appelées composantes du vecteur aléatoire X. On note alors X=(X_{1},\dots, X_{n}).

Une application X de (\Omega,\mathcal{F}) (définie sur Ω), à valeurs dans l'espace \mathbb{R}^n muni de la tribu des boréliens de \mathbb{R}^n, est un vecteur aléatoire si elle est mesurable.

Fonction de répartition

Soit X=(X_{1},\dots, X_{n}) un vecteur aléatoire. Sa fonction de répartition F : \R^n \to \R est ainsi définie :

F(x_{1},\dots ,x_{n})=\mathbb{P}((X_{1}\leq x_{1})\cap \cdots \cap (X_{n}\leq x_{n}))

Indépendance de vecteurs aléatoires

Définition

Deux vecteurs aléatoires sont indépendants si et seulement si la probabilité que ces vecteurs prennent une valeur donnée soit égale au produit des probabilités que chaque vecteur prenne une valeur donnée.

Exemple

Soit (\Omega,\mathcal{T},\mathbb{P}) un espace probabilisé X(Ω) = {x1,...,xp}\\ Y(Ω) = {y1,...,yq}\\ Z(Ω) = {z1,...,zr}\\

\mathbb{P}(X=x_{i},Y=y_{i},Z=z_{i}) = \mathbb{P}(X=x_{i}).\mathbb{P}(Y=y_{i}).\mathbb{P}(Z=z_{i})

Vecteur gaussien

Un vecteur aléatoire de dimension n est un vecteur gaussien si toute combinaison linéaire de ses composantes est une variable gaussienne.

Définition — Soit \scriptstyle\ X = (X_{1},X_{2},...,X_{n}) un vecteur aléatoire. \scriptstyle\ X est gaussien si et seulement si, pour toute suite \scriptstyle\ a_{1},a_{2},...,a_{n} de nombres réels, la variable aléatoire

Z = a1X1 + a2X2 + ...anXn

est une variable gaussienne.

Bibliographie

  • Patrick Bogaert, Probabilités pour scientifiques et ingénieurs, De Boeck Université, 2006, Bruxelles
  • Alain Cambrouze, Probabilités1, Presses Universitaires de France, 1996, Paris
  • Yves Ducel , Introduction à la théorie mathématique des probabilités , Ellipses , 1998 , ISBN 2-7298-9820-4
  • Jean-Pascal Ansel , Yves Ducel , Exercices corrigés en théorie des probabilités , Ellipses , 1996 , ISBN 2-7298-4688-3

Liens internes

Liens externes

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