Torseur cinetique

Torseur cinetique

Torseur cinétique

Le torseur cinétique est un outil mathématique utilisé notamment pour calculer l'énergie cinétique d'un système.

Sommaire

Définition

Le torseur cinétique comme tous les torseurs est la réduction en un point d'un champ vectoriel en deux vecteurs particuliers.

Sa notation est la suivante : { \mathcal{C} (S/R)} _{A} = \begin{Bmatrix} \overrightarrow{p}(S/R) \\ \overrightarrow{\sigma _A}(S/R) \end{Bmatrix}_{A/R}

avec R repère d'étude, S solide étudié, A point quelconque du solide S.

Quantité de mouvement

Le vecteur \overrightarrow{p}(S/R) représente la quantité de mouvement du solide. La quantité de mouvement s'exprime en kg.m.s − 1

On a \overrightarrow{p}(S/R) = m \vec V (G/R) = \int_{(S)} {\vec V (P \in S/R) dm}.

Où \vec V (G/R) est la vitesse du point G par rapport au repère et \vec V (P \in S/R) est le vecteur vitesse du solide par rapport au repère, les vitesses sont en m.s − 1. Avec G centre d'inertie de S.

Moment cinétique

Le vecteur \overrightarrow{\sigma _A}(S/R) est le moment cinétique.

On a \overrightarrow{\sigma _A}(S/R) = \int_{(S)} {\vec {AP} \wedge \vec V (P \in S/R) dm(p)}.

ou encore

\overrightarrow{\sigma _A}(S/R) = \vec{AG} \wedge m\vec V(A/R) + \begin{bmatrix} I _A(S) \end{bmatrix}. \vec \Omega (S/R) = \vec{AG} \wedge m\vec V(G/R) + \begin{bmatrix} I _G(S) \end{bmatrix}. \vec \Omega (S/R)

avec \begin{bmatrix} I _A(S) \end{bmatrix} matrice d'inertie de S ecrite en A.


Relation entre le moment cinétique et le moment dynamique :

\overrightarrow{\delta _A}(S/R) = \frac{d}{dt} \overrightarrow{\sigma _A}(S/R) + m \vec V(A/R) \wedge \vec V (G/R).

Cette relation se simplifie lorsque les points A et G sont confondus ou lorsque A est un point fixe dans R:

\overrightarrow{\delta _A}(S/R) = \frac{d}{dt} \overrightarrow{\sigma _A}(S/R).

Énergie cinétique

Grâce aux notations torsorielles on peut calculer l'énergie cinétique d'un solide. Cette dernière est égale à la moitié du comoment du torseur cinétique par le torseur cinématique.

T(S/R) = \frac{1}{2} \begin{Bmatrix} \mathcal{C} (S/R) _{G} \\ \end{Bmatrix} \otimes \begin{Bmatrix} \mathcal{V} (S/R) _{G} \\ \end{Bmatrix}

L'énergie cinétique est exprimée en joules (J).

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