Nabla

Nabla, noté $\nabla$ , est un symbole mathématique pouvant aussi bien désigner le gradient d'une fonction en analyse qu'une connexion de Koszul en géométrie différentielle. Les deux notions sont évidemment reliées, ce qui explique l'utilisation d'un même symbole. En physique, il est utilisé de manière informelle en dimension 3 pour représenter aisément la divergence (∇·A), le rotationnel (∇∧A) et le laplacien vectoriel (ΔA = ∇²A) d'un champ vectoriel A, ainsi que le gradient (∇f) et le laplacien (Δf = ∇²f) d'un champ scalaire f. Ces notions sont fondamentales en physique, notamment en électromagnétisme et en hydrodynamique.

Sommaire

1 Origine historique
2 Formulaire d'analyse vectorielle
3 Voir aussi
- 3.1 Articles connexes
- 3.2 Liens externes

Origine historique

La forme de Nabla vient de la lettre grecque delta majuscule (Δ) renversée, à cause d'une utilisation comparable, la lettre grecque à l'endroit étant déjà utilisée pour désigner un opérateur (le laplacien) en calcul différentiel. Le nabla a été introduit par Peter Guthrie Tait en 1867. D'abord surnommé avec malice « atled » (delta à l'envers) par James Maxwell, le nom Nabla lui fut donné par Tait sur l'avis de William Robertson Smith, en 1870, par analogie de forme avec une harpe grecque qui dans l'antiquité portait ce nom.^{[réf. souhaitée]}

Formulaire d'analyse vectorielle

Ceci est une liste de quelques formules d'analyse vectorielle d'emploi général en travaillant avec plusieurs systèmes de coordonnées communs.

**Table avec les $\nabla$ (**nabla** ou del) dans les coordonnées cylindriques ou sphériques**
Opération	Coordonnées cartésiennes (x,y,z)	Coordonnées cylindriques (ρ,φ,z)	Coordonnées sphériques (r,θ,φ)
Définition des coordonnées		$\begin{cases} x = \rho\cos\varphi \\ y = \rho\sin\varphi \\ z = z \end{cases}$	$\begin{cases} x = r\sin\theta\cos\varphi \\ y = r\sin\theta\sin\varphi \\ z = r\cos\theta \end{cases}$
$\boldsymbol A$	$A_x \boldsymbol u_x + A_y \boldsymbol u_y + A_z \boldsymbol u_z$	$A_\rho \boldsymbol u_\rho + A_\varphi \boldsymbol u_\varphi + A_z \boldsymbol u_z$	$A_r \boldsymbol u_r + A_\theta \boldsymbol u_\theta + A_\varphi \boldsymbol u_\varphi$
$\nabla$	$\boldsymbol u_x {\partial \over \partial x} + \boldsymbol u_y {\partial \over \partial y} + \boldsymbol u_z {\partial \over \partial z}$	$\boldsymbol u_\rho {\partial \over \partial \rho} + {1 \over \rho} \boldsymbol u_\varphi {\partial \over \partial \varphi} + \boldsymbol u_z {\partial \over \partial z}$	$\boldsymbol u_r {\partial \over \partial r} + {1 \over r} \boldsymbol u_\theta {\partial \over \partial \theta} + {1 \over r\sin\theta} \boldsymbol u_\varphi {\partial \over \partial \varphi}$
$\nabla f \equiv \overrightarrow{\mathrm{grad}} f$	${\partial f \over \partial x}\boldsymbol u_x + {\partial f \over \partial y}\boldsymbol u_y + {\partial f \over \partial z}\boldsymbol u_z$	${\partial f \over \partial \rho}\boldsymbol u_\rho + {1 \over \rho}{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol u_\varphi + {\partial f \over \partial z}\boldsymbol u_z$	${\partial f \over \partial r}\boldsymbol u_r + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\boldsymbol u_\theta + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol u_\varphi$
$\nabla\cdot\boldsymbol A \equiv \mathrm{div} \boldsymbol A$	${\partial A_x \over \partial x} + {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z}$	${1 \over \rho}{\partial \rho A_\rho \over \partial \rho} + {1 \over \rho}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi} + {\partial A_z \over \partial z}$	${1 \over r^2}{\partial r^2 A_r \over \partial r} + {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\theta\sin\theta \over \partial \theta} + {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}$
$\nabla \wedge \boldsymbol A \equiv \overrightarrow{\mathrm{rot}} {\boldsymbol A}$	$\left({\partial A_z \over \partial y} - {\partial A_y \over \partial z}\right) \boldsymbol u_x$ $+ \left({\partial A_x \over \partial z} - {\partial A_z \over \partial x}\right) \boldsymbol u_y$ $+ \left({\partial A_y \over \partial x} - {\partial A_x \over \partial y}\right) \boldsymbol u_z$	$\left({1 \over \rho}{\partial A_z \over \partial \varphi} - {\partial A_\varphi \over \partial z}\right) \boldsymbol u_\rho$ $+ \left({\partial A_\rho \over \partial z} - {\partial A_z \over \partial \rho}\right) \boldsymbol u_\varphi$ $+ {1 \over \rho}\left({\partial \rho A_\varphi \over \partial \rho} - {\partial A_\rho \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol u_z$	${1 \over r\sin\theta}\left({\partial A_\varphi\sin\theta \over \partial \theta} - {\partial A_\theta \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol u_r$ $+ \left({1 \over r\sin\theta}{\partial A_r \over \partial \varphi} - {1 \over r}{\partial r A_\varphi \over \partial r}\right) \boldsymbol u_\theta$ $+ {1 \over r}\left({\partial r A_\theta \over \partial r} - {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol u_\varphi$
$\Delta f = \nabla^2 f$	${\partial^2 f \over \partial x^2} + {\partial^2 f \over \partial y^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2}$	${1 \over \rho}{\partial \over \partial \rho}\left(\rho {\partial f \over \partial \rho}\right) + {1 \over \rho^2}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2}$	${1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2}$
$\Delta \boldsymbol A = \nabla^2 \boldsymbol A$	$\Delta A_x \; \boldsymbol u_x$ $+ \Delta A_y \; \boldsymbol u_y$ $+ \Delta A_z \; \boldsymbol u_z$	$\left(\Delta A_\rho - {A_\rho \over \rho^2} - {2 \over \rho^2}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol u_\rho$ $+ \left(\Delta A_\varphi - {A_\varphi \over \rho^2} + {2 \over \rho^2}{\partial A_\rho \over \partial \varphi}\right)\boldsymbol u_\varphi$ $+ \Delta A_z \; \boldsymbol u_z$	$\left(\Delta A_r - \frac{2 A_r}{r^2} - \frac{2 A_\theta\cos\theta}{r^2\sin\theta} - \frac{2}{r^2} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} - \frac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}\right) \boldsymbol u_r$ $+\left(\Delta A_\theta - \frac{A_\theta}{r^2\sin^2\theta} + \frac{2}{r^2}\frac{\partial A_r}{\partial \theta} - \frac{2 \cos\theta}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}\right) \boldsymbol u_\theta$ $+\left(\Delta A_\varphi - \frac{A_\varphi}{r^2\sin^2\theta} + \dfrac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial \varphi} + \frac{2 \cos\theta}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial A_\theta}{\partial \varphi}\right) \boldsymbol u_\varphi$
Quelques autres règles de calcul $\operatorname{div}\ \overrightarrow{\operatorname{grad}} f = \nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f = \Delta f$ (laplacien) $\overrightarrow{\operatorname{rot}}\ \overrightarrow{\operatorname{grad}} f = \nabla \wedge ( \nabla f) = \boldsymbol 0$ $\operatorname{div}\ \overrightarrow{\operatorname{rot}} \; \boldsymbol A = \nabla \cdot ( \nabla \wedge \boldsymbol A) = 0$ $\overrightarrow{\operatorname{rot}}\ \overrightarrow{\operatorname{rot}} \; \boldsymbol A = \nabla \wedge (\nabla \wedge \boldsymbol A) =\nabla ( \nabla \cdot \boldsymbol A) - \nabla^2 \boldsymbol A = \overrightarrow{\operatorname{grad}}\ \operatorname{div} \boldsymbol A - \Delta \boldsymbol A$ (rotationnel du rotationnel) $\Delta f g = f \Delta g + 2 \nabla f \cdot \nabla g + g \Delta f$ Formule de Lagrange pour le produit vectoriel $\boldsymbol A \wedge (\boldsymbol B \wedge \boldsymbol C) = \boldsymbol B (\boldsymbol A \cdot \boldsymbol C) - \boldsymbol C (\boldsymbol A \cdot \boldsymbol B)$ si et seulement si A, B et C commutent entre eux.

L'utilisation des expressions de $\nabla$ dans des systèmes de coordonnées autres que cartésiennes nécessite de rester vigilant quant à l'application des dérivées partielles aux éléments $\boldsymbol u_\rho$ , $\boldsymbol u_\varphi$ , $\boldsymbol u_r$ et $\boldsymbol u_\theta$ . Ces derniers étant des champs de vecteurs non constants, ils font apparaître des termes spécifiques lorsque soumis à la dérivation (contrairement à $\boldsymbol u_x$ , $\boldsymbol u_y$ et $\boldsymbol u_z$ qui ont des dérivées nulles).

Voir aussi

Liens externes

v · Analyse vectorielle
Objets d'étude	Champ de vecteurs • Champ scalaire • Équation aux dérivées partielles (de Laplace et de Poisson)
Opérateurs	Nabla • Gradient • Rotationnel • Divergence • Laplacien scalaire • Bilaplacien • Laplacien vectoriel • D'alembertien
Théorèmes	de Green • de Stokes • de Helmholtz • de flux-divergence • du gradient • du rotationnel

Catégories :

Théorie des opérateurs
Analyse vectorielle
Méthode mathématique de la physique
Symbole mathématique

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Nabla de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

nabla — [ nabla ] n. m. • 1953; angl. nabla (1884); mot gr. ♦ Math. Opérateur différentiel (noté ∇) défini sur des champs scalaires ou vectoriels. ● nabla nom masculin Opérateur (noté ∇) défini sur des champs scalaires ou vectoriels et traité… … Encyclopédie Universelle
Nabla — may refer to one of the following: the nabla symbol, which is used to denote the mathematical del operator where tensor is formal. Nabla (instrument), a Hebrew stringed instrument after which that symbol was named, see harp. Nabla, tradename of a … Wikipedia
nabla — (Del lat. nabla, y este del gr. νάβλα). f. Instrumento musical muy antiguo, semejante a la lira, pero de marco rectangular y diez cuerdas de alambre, que se pulsaban con ambas manos … Diccionario de la lengua española
NABLA — urbs Sarmatiae Asiaticae Ptol. Naana substituêre Interpretes … Hofmann J. Lexicon universale
nablă — náblă, náble, s.f. (înv.) instrument muzical cu coarde, asemănător cu harfa. Trimis de blaurb, 18.07.2006. Sursa: DAR … Dicționar Român
Nabla — ∇ El símbolo nabla. El arpa, el instrumento que da nombre al símbolo nabla. En geometría diferencial, nabla (también llamado del) es un operador diferencial representado por el símbolo: ∇ | … Wikipedia Español
Nabla — ∇ U+2207 NABLA Das Symbol Nabla wird hauptsächlich als Bezeichnung des Nabla Operators verwendet. Das Symbol Nabla ist kein Buchstabe, sondern entstand aus ähnlichen Symbolen der Quaternionenanalysis von William Rowan Hamilton. Peter Guthrie Tait … Deutsch Wikipedia
Nabla — (Del gr. nabla.) ► sustantivo femenino MÚSICA Antiguo instrumento musical de cuerda parecido a la lira, con el marco rectangular y diez cuerdas de alambre. SINÓNIMO nebel * * * nabla (del lat. «nabla», del gr. «nábla») f. Instrumento musical muy… … Enciclopedia Universal
nabla — del del n. (Math.) a differential operator which, operating on a function of several variables, gives the sum of the partial derivatives of the function with respect to the three orthogonal spatial coordinates; also called the {gradient} or… … The Collaborative International Dictionary of English
nabla — nà·bla s.m. 1. TS st.mus. antico strumento ebraico, a corde pizzicate e cassa di risonanza panciuta, simile al salterio 2. TS mat. nell analisi vettoriale, operatore vettoriale rappresentato da un delta maiuscolo rovesciato, con cui si esprimono… … Dizionario italiano

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Nabla

Sommaire

Origine historique

Formulaire d'analyse vectorielle

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Nabla

Sommaire

Origine historique

Formulaire d'analyse vectorielle

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link