Torique

Torique

Tore

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Un tore est un solide géométrique représentant un tube courbé refermé sur lui-même. Le terme « tore » comporte différentes acceptions plus spécifiques selon le contexte :

Sommaire

Le solide de révolution

Un tore est engendré par la rotation d'un cercle autour d'un autre cercle.
Le tore est également obtenu par recollement des côtés opposés d'un carré

Un tore désigne le volume de l'espace euclidien R3 engendré par la rotation d'un cercle C de rayon r autour d'une droite affine D située dans son plan à une distance R de son centre. Dans cette acceptation, certains auteurs désignent par tore plein le solide obtenu, réservant le terme tore pour la surface correspondante. À l'action d'une isométrie affine directe près, le tore (plein) est uniquement déterminé par les deux paramètres réels R et r.

La forme du tore (plein) dépend du signe de R-r :

  • Si R < r, le tore est dit « croisé » et ressemble visuellement à une citrouille ; le solide est topologiquement une boule fermée de l'espace tridimensionnel, sa surface est une sphère.
  • Si R = r, le tore est dit « à collier nul ».
  • si R > r, le tore est dit « ouvert » et ressemble à une chambre à air (exemple francophone) ou à un donut (exemple anglophone).

Pour R = 0, alors le tore (plein) correspondant est effectivement une boule (solide obtenu par la rotation d'un disque autour de l'un de ses diamètres). Certains auteurs réservent la dénomination tore pour R-r positif, voire strictement positif.

Les trois types de tores.PNG
Les trois types de tores : Tore croisé, à collier nul, et ouvert.

Aire et volume

Tore ouvert, pour lequel R = 3 r

Pour R-r positif ou nul, on a :

  • Aire du tore : A = 4 π² r R ;
  • Volume intérieur du tore : V = 2 π² r² R.

Les théorèmes de Gysin permettent de déterminer les formules de l'aire et du volume du tore croisé (pour R<r).

Groupe des isométries

Pour R>0, parmi les isométries remarquables du tore, on distingue :

  • Les rotations ru d'axe (supposé orienté) D et d'angle u ;
  • Le retournement a par rapport au plan affine P orthogonal à D passant par le centre de C ;
  • Le retournement bQ par rapport à tout plan affine Q contenant D ;
  • La symétrie centrale s par rapport au projeté orthogonal O de C sur D ;
  • Les symétries axiales par rapport à toute droite passant par O et contenue dans P ;
  • Les composées d'une rotation ru par le retournement a.

Evidemment, la symétrie centrale et les symétries axiales s'obtiennent comme composées des retournements décrits. Le groupe G des isométries du tore est isomorphe au produit direct de Z/2Z par le produit semi-direct de S1 par Z/2Z :

G=Z/2Z\times (R/2\pi Z\rtimes Z/2Z) .

Un isomorphe naturel est décrit comme suit :

  • ru correspond à (0,u,0) ;
  • a correspond à (1,0,0) ;
  • Pour un plan Q fixé arbitraire, bQ correspond à (0,0,1).

En particulier, bru(Q)=rubQr-u correspond à (0,u,1) ; s correspond à (1,π,0) ; ...

Colorier un tore

Le théorème des quatre couleurs ne s'applique pas pour un tore : il est possible de diviser la surface d'un tore en 7 zones de couleurs différentes (maximum) de sorte que chacune touche toutes les autres.

Cette construction montre un tore divisé en 7 régions qui se touchent mutuellement

Applications

  • En recherche nucléaire énergétique, dans les réacteurs de type tokamak, le plasma est contenu par de forts champs magnétiques dans une chambre de forme torique. L'un de ces réacteurs porte d'ailleurs le nom de Tore Supra. C'est aussi la forme des accélérateurs de particules les synchrotrons
  • En électricité, la forme idéale du bobinage d'un transformateur est celle du tore.

Le tore de dimension n

En topologie, le terme tore est réservé pour désigner des espaces topologiques bien définis à difféomorphisme près. Il existe plusieurs présentations, toutes équivalentes. On appelle tore de dimension n , habituellement noté dans la littérature mathématique Tn, l'espace topologique unique à homéomorphisme près défini comme :

  • Produit cartésien de n copies du cercle ;
  • Quotient de Rn par Zn ;
  • Plus généralement, quotient d'un espace vectoriel réel de dimension finie n par un réseau (ici, sous-groupe additif discret maximal) ;

Le tore de dimension n est une variété topologique compacte et connexe de dimension n. Obtenu comme quotient d'un espace vectoriel réel, Tn est une variété différentielle (compacte et connexe de dimension n) ; l'atlas maximal correspondant ne dépend ni du réseau, ni de l'espace vectoriel.

Si E est un espace vectoriel euclidien de dimension n et G un réseau de E, le quotient Tn=E/G se présente naturellement comme une variété plate.

De la même façon que pour construire un tore de surface externe de dimension 2 il fallait joindre deux à deux les côtés opposés d'un carré en le pliant dans une troisième dimension, pour construire un tore de surface n dimensionnelle, il faut joindre deux à deux les faces n-1 dimensionnelles opposées d'un hypercube de dimension n en pliant cet hypercube dans une nouvelle dimension n+1. Ainsi, un tore de surface externe 3 est le recollement des 3 paires de faces opposées d'un cube dans une quatrième dimension.

Le groupe fondamental de Tn est le groupe abélien libre à n générateurs, soit Zn.

Le tore de dimension n est l'unique groupe de Lie abélien compact. L'introduction des tores maximaux (sous-groupe de Lie abélien compact maximal) est d'une importance capitale dans l'étude des groupes de Lie compacts.

Voir aussi


Solides géométriques
Les polyèdres
Les solides de Platon
Tétraèdre - Cube - Octaèdre - Icosaèdre - Dodécaèdre
Les solides d'Archimède
Tétraèdre tronqué - Cube tronqué - Octaèdre tronqué - Dodécaèdre tronqué - Icosaèdre tronqué - Cuboctaèdre - Cube adouci - Icosidodécaèdre - Dodécaèdre adouci - Petit rhombicuboctaèdre - Grand rhombicuboctaèdre - Petit rhombicosidodécaèdre - Grand rhombicosidodécaèdre
Les solides de Kepler-Poinsot
Petit dodécaèdre étoilé - Grand dodécaèdre étoilé - Grand dodécaèdre - Grand icosaèdre
Les solides de Catalan
Triakioctaèdre - Tétrakihexaèdre - Triakitétraèdre - Pentakidodécaèdre - Triaki-icosaèdre - Dodécaèdre rhombique - Icositétraèdre pentagonal - Triacontaèdre rhombique - Hexacontaèdre pentagonal - Icositétraèdre trapézoïdal - Hexakioctaèdre - Hexacontaèdre trapézoïdal - Hexaki icosaèdre
Les solides de Johnson
Les solides de révolution
Boule - Cylindre de révolution - Cône de révolution - Tore - Paraboloïde de révolution
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