Paires de matrices commutantes

Paires de matrices commutantes

Paire de matrices commutantes

En mathématiques, une paire de matrices commutantes est un couple (A,B) de matrices carrées à coefficients dans un corps \mathbb{K} qui commutent, c'est-à-dire que AB = BA.

L'étude des paires de matrices commutantes a des aspects tout à fait élémentaires et d'autres qui font l'objet de recherches en cours. L'énoncé de certains problèmes étudiés est assez élémentaire pour être présenté au niveau de la première année d'université. En voici un exemple :

Une matrice nilpotente est une matrice dont une puissance est nulle. On sait qu'une telle matrices est semblable à sa réduite de Jordan. Supposons la matrice A nilpotente, sous forme réduite de Jordan, avec des blocs de taille donnée. Quelle peut être la taille des blocs de Jordan des matrices nilpotentes qui commutent avec la matrice donnée A?

Bien sûr, la solution, elle, n'est pas élémentaire.

Sommaire

L'ensemble des matrices commutant avec une matrice dont toutes les valeurs propres sont distinctes

Le résultat le plus classique est le suivant:

Soit A une matrice n \times n à coefficients dans un corps \mathbb K, possédant n valeurs propres distinctes. Alors l'ensemble des matrices B qui commutent avec A est exactement l'ensemble des polynômes de la matrice A.

Démonstration

La condition sur A revient à supposer qu'il existe une matrice P inversible telle que

P − 1AP = D;

avec

D=\begin{pmatrix} d_1&0&\dots&0\\ 0&d_2&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&d_n \end{pmatrix};

avec les di deux à deux distincts.

Si on suppose que AB − BA = 0, en multipliant par P − 1 à gauche et par P à droite, on obtient DC − CD = 0, avec C = P − 1BP.

On note Cij les coefficients de C. Alors, les coefficients de DC − CD valent (di − dj)Cij, ce qui implique immédiatement que les Cij sont nuls si i est différent de j. La matrice C est donc de la forme

C=\begin{pmatrix} c_1&0&\dots&0\\ 0&c_2&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&c_n \end{pmatrix}.

Le théorème d'interpolation de Lagrange prouve qu'il existe un unique polynôme P de degré au plus n − 1, tel que

p(d_i)=c_i, 1\le i\le n.

On a donc C = p(D). Comme Ak = (PDP − 1)k = PDkP − 1, on a également B = p(A).

L'ensemble des matrices commutant avec une matrice diagonalisable

Supposons A diagonalisable dans une extension \mathbb{L} de \mathbb{K}. Dans ce cas, on peut encore décrire l'ensemble des matrices commutant avec la matrice A.

Notons In la matrice identité dans \mathbb{K}^n. Sans perte de généralité, on peut supposer que D peut se mettre sous la forme par blocs

D=\begin{pmatrix} d_1 I_{n_1}& 0 &\dots& 0\\ 0&d_2 I_{n_2}&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&d_pI_{n_p} \end{pmatrix},

avec des d_p\in\mathbb{L} tous deux à deux distincts. Dans cette matrice, seuls les blocs diagonaux peuvent être non nuls, tous les autres sont nuls. Notons Cij le bloc de C dont les indices de lignes vont de n_1+\dots +n_{i-1}+1 à n_1+\dots +n_i et dont les indices de colonne vont de n_1+\dots +n_{j-1}+1 à n_1+\dots+n_j. On effectue les multiplications par blocs :

DC=\begin{pmatrix} d_1 C_{11}&d_1C_{12}&\dots&d_1C_{1p}\\ d_2C_{21}&d_2{22}&\dots&d_2C_{2p}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ d_pC_{p1}&d_pC_{p2}&\dots&d_pC_{pp} \end{pmatrix}, \quad CD= \begin{pmatrix} d_1 C_{11}&d_2C_{12}&\dots&d_pC_{1p}\\ d_1C_{21}&d_2{22}&\dots&d_pC_{2p}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ d_1C_{p1}&d_2C_{p2}&\dots&d_pC_{pp} \end{pmatrix}.

L'égalité de ces deux expressions implique que diCij = djCij pour i et j variant de 1 à p, et donc les blocs Cij non diagonaux sont nuls.

On voit maintenant que les blocs Cjj peuvent être pris quelconques dans \mathcal{M}_{n_j}(\mathbb{K}), et on peut conclure que C admet une forme de Jordan dans une base de vecteurs propres de D. L'ensemble des matrices commutant avec A est donc formé des matrices qui admettent une réduction de Jordan dans une base de vecteurs propres de A.

Les matrices commutant avec une matrice non diagonalisable : un exemple

La situation devient très compliquée si on considère les matrices commutant avec une matrice A non diagonalisable.

Supposons d'abord que A soit une matrice de Jordan, de plus nilpotente. Un calcul élémentaire montre que toutes les matrices qui commutent avec A sont des matrices de Toeplitz triangulaires supérieures, c'est à dire de la forme

B= \begin{pmatrix} a_1&a_2&a_3&\dots&a_n\\ 0&a_1&a_2&\dots&a_{n-1}\\ 0&0&a_1&\dots&a_{n-2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&a_1 \end{pmatrix}.

Si on prend comme A une matrice diagonale par blocs, dont les blocs sont des matrices de Jordan nilpotentes, il se passe des choses assez surprenantes. Notons J_{n_i} les blocs diagonaux de A.

En raisonnant comme dans le paragraphe précédent, on voit que tous les blocs de la matrice B, découpés d'après la structure des blocs de la matrice A doivent vérifier la relation de commutation suivante:

JiBij = BijJj.

Les blocs diagonaux de B sont donc triangulaires supérieurs et de Toeplitz, mais les blocs hors diagonale ne sont pas nuls ; ils sont de la forme

B_{ij}=\begin{pmatrix} 0&0&\dots &0&a_1&a_2&a_3&\dots&a_{n_i}\\ 0&0&\dots &0&0&a_1&a_2&\dots&a_{n_i-1}\\ 0&0&\dots &0&0&0&a_1&\dots&a_{n_i-2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots &0&0&0&0&\dots&a_1 \end{pmatrix};

si n_j\ge n_i et de la forme

B_{ij}=\begin{pmatrix} a_1&a_2&a_3&\dots&a_{n_j}\\ 0&a_1&a_2&\dots&a_{n_j-1}\\ 0&0&a_1&\dots&a_{n_j-2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&a_1\\ 0&0&0&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&0\\ \end{pmatrix}.

dans le cas contraire.

Rien n'indique de relation simple entre les sous-espaces caractéristiques (ou sous-espaces propres généralisés) de A et ceux de B.

Prenons le cas suivant, très simple. Soit A donné par

A=\begin{pmatrix} 0&1&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix},

et choisissons la matrice B suivante :

B=\begin{pmatrix} a&b&0&c\\ 0&a&0&0\\ 0&d&e&f \\0&0&0&e \end{pmatrix}.

Cette matrice commute avec A. Ses valeurs propres sont a et e, qu'on suppose distinct de a. Le sous-espace caractéristique relativement à la valeur propre a est engendré par les vecteurs

\begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \quad \mathrm{et}\quad \begin{pmatrix} a-e\\0\\d\\0 \end{pmatrix}.

et le sous-espace caractéristique relatif à la valeur propre g est engendré par les vecteurs

\begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \quad \mathrm{et}\quad \begin{pmatrix} c\\0\\e-a\\0 \end{pmatrix}.

Le rapport entre les sous-espaces caractéristiques de B et ceux de A n'est donc pas évident.

La variété commutante

Soit \mathbb{K} un corps et soit E=\mathcal{M}_n(\mathbb{K})^2. La variété commutante est l'ensemble des couples de matrices (A,B)\in E telles que AB − BA = 0. cette variété algébrique est définie par n2 équations quadratiques à 2n2 inconnues. Pendant longtemps les propriétés de cette variété sont restées mystérieuses. M. Gerstenhaber [1] a montré en 1961 que cette variété était irréductible. R. Guralnick [2] a remarqué en 1990 que l'essentiel de cette preuve avait été donné en fait dans un article de T. S. Motzkin et O. Taussky [3].

L'article de Motzkin et Taussky porte essentiellement sur les faisceaux de matrices.

Tout un pan de l'article de Gerstenhaber fait appel à des techniques de théorie des représentations, en particulier les partitions.

Il est surprenant de constater que l'étude des paires de matrices commutantes continue à être un sujet de recherche actif dans des domaines variés : algèbre commutative, algèbre numérique et computationnelle, théorie des représentations. Citons par exemple un article de Baranovsky[4], qui montre que la variété des paires de matrices nilpotentes est irréductible. Des travaux de 2007 et 2008 examinent la structure de Jordan des matrices commutant avec une matrice nilpotente donnée [5],[6],[7]. Le sort des sous-espaces propres est encore peu abordé, mais on peut citer par exemple un travail d'Heinrich Kuhn en 1977[8]. Sachant que les problèmes de vecteurs propres et de vecteurs propres généralisés sont toujours plus difficiles que les problèmes de valeurs propres, on voit qu'il y a du pain sur la planche.

Les paires de matrices qui commutent presque sont-elles proches de paires de matrices commutantes ?

P Rosenthal a posé la question[9] suivante en 1969 ; si le commutateur de deux matrices A et B est petit, sont elles proches d'une paire de matrices qui commutent? La question est précisée comme suit : peut-on trouver pour tout \varepsilon>0, un δ > 0 tel que pour tout entier n\ge 1, si A et B sont des matrices de norme inférieure ou égale à 1, vérifiant \|AB-BA\|\le \delta, alors il existe une paire de matrices commutantes R et S telles que \|A-R\|+\|B-S\|\le \varepsilon.

La réponse est positive si on permet à δ de dépendre de n.

La réponse négative, pour les matrices complexes, est due à Man Duen Choi[10], en 1988. Il énonce ainsi le théorème suivant :

Pour tout entier n > 1, il existe des matrices n\times n, A et B telles que \|A\|=1-1/n, \|B\|\le 1, \|AB-BA\|\le 2/n et cependant \|A-R\|+\|B-S\|\ge 1-1/n, pour toute paire de matrices commutantes R et S.

Notes et références

  1. ↑ M. Gerstenhaber. On dominance and varieties of commuting matrices. Ann.Math. 73 (1961) 324--348.
  2. ↑ R. Guralnick, A note on commuting pairs of matrices, Linear and Multilinear Algebra 31 (1992) 71--75.
  3. ↑ T. S. Motzkin et O. Taussky. Pairs of matrices with property L. II. Trans. Amer. Math. Soc. 80 (1955), 387--401
  4. ↑ V. Baranovsky.The variety of pairs of commuting nilpotent matrices is irreducible.Transform. Groups. 6(2001), no 1, 3-8.
  5. ↑ Polona Oblak. The upper bound for the index of nilpotency for a matrix commuting with a given nilpotent matrix. arXiv:math/0701561v2.
  6. ↑ Roberta Basili. Some remarks on varieties of pairs of commuting upper triangular matrices and an interpretation of commuting varieties. arXiv:0803.0722v2.
  7. ↑ Tomaž Košir, Polona Oblak. On pairs of commuting nilpotent matrices. arXiv:0712.2813v3.
  8. ↑ Heinrich Kuhn. On commuting nilpotent matrices. Bol. Soc. Bras. Mat. 8.2(1977),117-119.
  9. ↑ P. Rosehthal. Are almost commuting matrices near commuting matrices?. American Mathematical Monthly 76(1969)925-926.
  10. ↑ Man Duen Choi. Almost commuting matrices need not be nearly commuting. Proc. Amer. Math. Soc. 102 (1988), no. 3, 529--533

Bibliographie

  • S. Lang, Algebra, Springer.

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