Interpolation Lagrangienne

Interpolation Lagrangienne

Interpolation lagrangienne

En analyse numérique, les polynômes de Lagrange, du nom de Joseph Louis Lagrange, permettent d'interpoler une série de points par un polynôme qui passe exactement par ces points appelés aussi nœuds. Cette technique d'interpolation polynomiale a été découverte par Edward Waring en 1779 et redécouverte plus tard par Leonhard Euler en 1783.

Sommaire

Définition

Cette image montre, pour 4 points ((-9, 5), (-4, 2), (-1, -2), (7, 9)), l'interpolation polynomiale L(x) (de degré 3), qui est la somme des polynômes de base y0.l0(x), y1.l1(x), y2.l2(x) et y3.l3(x). Le polynôme d'interpolation passe par les 4 points de contrôle, et chaque polynôme de base passe par son point de contrôle respectif et vaut 0 pour les x correspondant aux autres points de contrôle.

On se donne n + 1 points (x_0, y_0),\dots,(x_n, y_n) (avec les xi distincts 2 à 2). On se propose de construire un polynôme de degré minimal qui en les abscisses x_i\ (i=0,...,n) prend les valeurs yi, ce qui est achevé par la méthode suivante.

Polynômes de Lagrange

Les polynômes de Lagrange associés à ces points sont les polynômes définis par :

l_j(X) := \prod_{i=0, i\neq j}^{n} \frac{X-x_i}{x_j-x_i} = \frac{X-x_0}{x_j-x_0} \cdots \frac{X-x_{j-1}}{x_j-x_{j-1}} ~ \frac{X-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}} \cdots \frac{X-x_{n}}{x_j-x_{n}}.

On a en particulier deux propriétés :

  1. lj est de degré n pour tout j
  2. l_i(x_j) = \delta_{i,j}, 0 \leq i,j \leq n c'est-à-dire li(xi) = 1 et li(xj) = 0 pour i\ne j

Polynôme d'interpolation

Le polynôme défini par L(X) = \sum_{j=0}^{n} y_j l_j(X) est l'unique polynôme de degré au plus n vérifiant L(xi) = yi pour tout i.

En effet L(x_i) = \sum_{j=0}^{n} y_j l_j(x_i)=y_i et L est une combinaison linéaire de polynômes de degré au plus n donc est de degré n au plus.

Si un autre polynôme, Q, vérifie ces propriétés alors L − Q est de degré n au plus, et s'annule en n + 1 points (les xk) donc est nul ce qui prouve l'unicité.

Autre écriture

Posons N(X)=\prod^{n}_{j=0}(X-x_j). On a N(xi) = 0 et, en utilisant la formule de Leibniz N'(X)=\sum^{n}_{j=0}\prod^{n}_{i=0,i\ne j}(X-x_i).

En particulier, comme tous les produits sont nuls en xk sauf un  : N'(x_k)=\prod^{n}_{i=0,i\ne k}(x_k-x_i).

Ainsi l_i(X)={N(X) \over N'(x_i)(X-x_i)}

On peut utiliser N pour traduire l'unicité : si Q vérifie Q(xi) = yi pour tout i alors Q − L s'annule aux points xi donc est un multiple de N. Il est donc de la forme Q(X) = L(X) + N(X).P(X) où P est un polynôme quelconque.

Base de polynômes

On se donne n + 1 scalaires distincts x_0,\ldots,x_n. Pour tout polynôme P appartenant à Kn[X], si on pose yi = P(xi), P est le polynôme d'interpolation correspondant aux points : il est égal au polynôme L défini ci-dessus.

On a donc P(X)=\sum_{j=0}^{n} P(x_j) l_j(X) donc (l_0,l_1,\dots,l_n) forme une famille génératrice de Kn[X]. Comme son cardinal (égal à n + 1) est égal à la dimension de l'espace, elle en est une base.

Exemples : en choisissant P = 1 ou P = X on a

  1. 1=\sum_{j=0}^{n} l_j(X)
  2. X=\sum_{j=0}^{n} x_jl_j(X)

En fait c'est la base dont la base duale est la famille des n + 1 formes linéaires ui de Dirac définies par ui(P) = P(xi).

Applications

  1. Ils peuvent être utilisés pour calculer la matrice inverse d'une matrice de Vandermonde
  2. Ils interviennent dans la démonstration du critère de diagonalisabilité par les polynômes annulateurs.

Idée principale

Résoudre un problème d'interpolation conduit à inverser une matrice pleine de type matrice de Vandermonde. C'est un calcul lourd en nombre d'opérations. Les polynômes de Lagrange définissent une nouvelle base de polynômes qui permet de ne plus avoir une matrice pleine mais une matrice diagonale. Or, inverser une matrice diagonale est une opération instantanée.

Voir aussi

Liens internes

Lien externe

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Interpolation lagrangienne ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Interpolation Lagrangienne de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Interpolation lagrangienne — En analyse numérique, les polynômes de Lagrange, du nom de Joseph Louis Lagrange, permettent d interpoler une série de points par un polynôme qui passe exactement par ces points appelés aussi nœuds. Cette technique d interpolation polynomiale a… …   Wikipédia en Français

  • Interpolation Polynomiale — En mathématiques, en analyse numérique, l interpolation polynomiale est une technique d interpolation d un ensemble de données ou d une fonction par un polynôme. En d autres termes, étant donné un ensemble de points (obtenu, par exemple, à la… …   Wikipédia en Français

  • Interpolation de Hermite — Interpolation polynomiale En mathématiques, en analyse numérique, l interpolation polynomiale est une technique d interpolation d un ensemble de données ou d une fonction par un polynôme. En d autres termes, étant donné un ensemble de points… …   Wikipédia en Français

  • Interpolation Newtonienne — En analyse numérique, l interpolation newtonienne, du nom d Isaac Newton, est une méthode d interpolation polynomiale permettant d obtenir le polynôme de Lagrange comme combinaison linéaire de polynômes de la base newtonienne. Contrairement à l… …   Wikipédia en Français

  • Interpolation de Lagrange — Interpolation lagrangienne En analyse numérique, les polynômes de Lagrange, du nom de Joseph Louis Lagrange, permettent d interpoler une série de points par un polynôme qui passe exactement par ces points appelés aussi nœuds. Cette technique d… …   Wikipédia en Français

  • Interpolation de lagrange — Interpolation lagrangienne En analyse numérique, les polynômes de Lagrange, du nom de Joseph Louis Lagrange, permettent d interpoler une série de points par un polynôme qui passe exactement par ces points appelés aussi nœuds. Cette technique d… …   Wikipédia en Français

  • Interpolation (mathématiques) — Interpolation numérique En analyse numérique (et dans son application algorithmique discrète pour le calcul numérique), l interpolation est une opération mathématique permettant de construire une courbe à partir de la donnée d un nombre fini de… …   Wikipédia en Français

  • Interpolation Numérique — En analyse numérique (et dans son application algorithmique discrète pour le calcul numérique), l interpolation est une opération mathématique permettant de construire une courbe à partir de la donnée d un nombre fini de points, ou une fonction à …   Wikipédia en Français

  • Interpolation numerique — Interpolation numérique En analyse numérique (et dans son application algorithmique discrète pour le calcul numérique), l interpolation est une opération mathématique permettant de construire une courbe à partir de la donnée d un nombre fini de… …   Wikipédia en Français

  • Interpolation polynomiale — En mathématiques, en analyse numérique, l interpolation polynomiale est une technique d interpolation d un ensemble de données ou d une fonction par un polynôme. En d autres termes, étant donné un ensemble de points (obtenu, par exemple, à la… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”