Icosaèdre tronqué

Icosaèdre tronqué
Type	Solide d'Archimède
Faces	Hexagones et Pentagones
Éléments :  · Faces  · Arêtes  · Sommets  · Caractéristique	32 90 60 2
Faces par sommet	3
Sommets par face	5 et 6
Isométries	A5 x C2
Dual	Pentakidodécaèdre
Propriétés	Semi-régulier et convexe, zonoèdre
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Patron (géométrie)

L'icosaèdre tronqué est un solide d'Archimède. Il comprend 12 faces pentagonales régulières, 20 faces hexagonales régulières, 60 sommets et 90 arêtes.

Ce polyèdre peut être construit à partir d'un icosaèdre avec une troncature sur les 12 sommets telle qu'un tiers de chaque arête est enlevé à chaque extrémité. Ceci crée 12 nouvelles faces pentagonales, et remplace les 20 faces triangulaires d'origine par des hexagones réguliers. Ainsi, la longueur des arêtes est un tiers de la longueur des arêtes originales.

Coordonnées canoniques

Les coordonnées canoniques pour les sommets d'un icosaèdre tronqué centré à l'origine sont les rectangles orthogonaux (0,±1,±3φ), (±1,±3φ,0), (±3φ,0,±1) et les pavés orthogonaux (±2,±(1+2φ),±φ), (±(1+2φ),±φ,±2), (±φ,±2,±(1+2φ)) le long des pavés orthogonaux (±1,±(2+φ),±2φ), (±(2+φ),±2φ,±1), (±2φ,±1,±(2+φ)), où φ = (1+√5)/2 est le nombre d'or. En utilisant φ² = φ + 1, on vérifie que tous les sommets sont sur une sphère, centrée à l'origine, avec le carré du rayon égal à 9φ + 10. Les arêtes sont de longueur 2.

Relations géométriques

L'icosaèdre tronqué vérifie facilement la caractéristique d'Euler :

32 + 60 − 90 = 2.

Avec des arêtes égales à l'unité, la surface est (arrondie) de 21 pour les pentagones et 52 pour les hexagones, faisant 73 en tout (voir aires des polygones réguliers).

Applications

Comparé à un ballon de football.

Un ballon de football comprend le même motif de pentagones réguliers et d'hexagones réguliers, mais est plus sphérique en raison de la pression du gonflage et de l'élasticité de la balle.

Cette forme fut aussi la configuration des lentilles utilisées pour concentrer les ondes de choc d'explosion des détonateurs dans le gadget (le prototype de la bombe atomique) et Fat Man (la bombe atomique lancée sur Nagasaki)^[1].

L'icosaèdre tronqué est aussi utilisé comme un modèle de la molécule de buckminsterfullerène (C₆₀). Les diamètres du ballon de football et de la molécule de buckminsterfullerène sont respectivement de 22 cm et d'environ 0,1 nm, par conséquent, le rapport de taille est de 200 000 000 pour 1.

L'icosaèdre tronqué dans les arts

Un icosaèdre tronqué avec des « arêtes solides » est un dessin de Lucas Pacioli illustrant La Divine Proportion.

Voir aussi

• dodécaèdre
• icosaèdre
• icosidodécaèdre
• dodécaèdre tronqué
• triacontaèdre rhombique tronqué
• ballon de football hyperbolique (en)
• fullerène

Références et bibliographie

• Robert Williams, The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, 1979, ISBN 0-486-23729-X

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « nom Truncated icosahedron » (voir la liste des auteurs)

Liens externes

• Mathcurve : icosaèdre tronqué
• (en) Mathworld : icosaèdre tronqué
• (en) Les polyèdres uniformes
• (en) Polyèdres en réalité virtuelle L'encyclopédie des polyèdres
• (en) Patrons en papier de polyèdres Un patron en papier d'un icosaèdre tronqué
• (en) Icosaèdre tronqué bondissant Réalité virtuelle (JVM nécessaire)

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