Theorie des representations d'un groupe fini

En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, la théorie des représentations d'un groupe fini est un cas particulier de représentation des groupes. Il traite du cas où le groupe étudié est d'ordre fini.

L'objectif de cette théorie est l'étude des morphismes d'un groupe fini vers GL(V) le groupe général linéaire des automorphismes d'un espace vectoriel V de dimension finie.

Cet article traite de l'aspect mathématiques, un article de synthèse existe : Représentations d'un groupe fini.

Sommaire 1 Généralité 1.1 Définitions 1.2 Représentation et matrice 1.3 Morphisme de représentation 2 Exemples 2.1 Groupe symétrique d'indice trois 2.2 Exemples généraux 3 Premiers concepts 3.1 Sous-représentation 3.2 Représentation irréductible 3.3 Produit hermitien 4 Caractère 4.1 Lemme de Schur 4.2 Représentation régulière 4.3 Fonction centrale 5 Algèbre d'un groupe 5.1 Structure semi-simple 5.2 Théorème d'Artin-Wedderburn 5.3 Conséquences du théorème 6 Extension 6.1 Motivation 6.2 Produit tensoriel 6.3 Représentation induite 7 Notes et références 7.1 Notes 7.2 Liens externes 7.3 Références

Généralité

Définitions

G désigne dans cet article un groupe fini d'ordre g. Son élément neutre est noté 1, et si s et t sont deux éléments de G la loi de composition interne du groupe sur s et t est noté st. V désigne un espace vectoriel de dimension finie notée n sur un corps noté K de caractéristique première avec g ou nulle.

• Une représentation du groupe G est la donnée d'un espace vectoriel V et d'un morphisme de groupe ρ de G vers le groupe linéaire GL(V). Une représentation est notée (V, ρ) ou parfois et abusivement V.

L'application ρ est à valeur dans l'espace des applications linéaires et préserve la loi du groupe, ce qui est équivalent aux propriétés suivantes :

Les notations ρ(s) (v) ou ρ_s.v ou même s.v désignent l'action d'un élément s du groupe G sur un élément v de l'espace vectoriel V.

• La représentation est dite fidèle si et seulement si le morphisme ρ est injectif.

• La dimension de V est appelée degré de la représentation.

La théorie pourrait être étendue sur des espaces V de dimension quelconque, cependant, V apparaît alors comme une somme directe de représentations de dimensions finis répétées une infinité de fois. Ce cas ne représente pas d'intérêt théorique.

Remarque : Ces notations sont utilisés par défaut pour le reste de l'article.

Représentation et matrice

Soit (e_i) une base de V. La donnée de la base permet d'associer à chaque endomorphisme a de V, une matrice (a_ij) carré d'ordre n, la dimension de V. Les coefficients de la matrice sont donnés par les égalités suivantes :

L'application qui à un endormorphisme a associe la matrice définie précédemment est un isomorphisme de K-algèbre de L_K(E) l'ensemble des endormorphismes de V, dans M_n(K) l'ensemble des matrices carrés d'ordre n à coefficients dans K. Ce morphisme induit un isomorphisme de groupe de GL(V) dans l'ensemble des matrices carrés inversibles d'ordre n, c’est-à-dire des matrices de déterminant différent de zéro.

Notons R_s la matrice de ρ_s, on a alors les deux propriétés suivantes :

Réciproquement, la donnée des matrices R_s et de la base définit une représentation linéaire de G dans V :

• Une représentation sous forme matricielle du groupe G de degré n est la donnée d'une application de G dans M_n(K) tel que les images vérifient les égalités (i) et (ii).

Morphisme de représentation

Soit (V, ρ) et (V' ,ρ') deux représentations du groupe G:

• Un morphisme de représentation de (V, ρ) dans (V' ,ρ') est une application linéaire θ de V dans V' vérifiant la propriété suivante :

Un cas important est celui où θ est un isomorphisme, il donne lieu à la définition suivante :

• Les représentations (V, ρ) et (V' ,ρ') sont dites isomorphes ou semblables si et seulement s'il existe un isomorphisme τ de V dans V' vérifiant les égalités suivantes :

Cette définition se traduit en termes de représentations sous forme matricielle. Deux représentations matricielles R et R' sont dites isomorphes si et seulement s'il existe une matrice carrée P d'ordre n inversible tel que :

Il est possible, sans perte de généralité d'identifier deux représentations isomorphes. En particulier, deux représentations isomorphes possèdent le même degré.

• Les représentations (V, ρ) et (V' ,ρ') sont dites disjointes si et seulement si elle n'ont aucune composantes irréductibles communes, ou encore s'il n'existe aucun morphisme entre les deux représentations autre que le morphisme nul.

Exemples

Groupe symétrique d'indice trois

Le groupe symétrique S₃ d'indice trois est un groupe de six éléments constitué des permutations d'un ensemble {e₁, e₂, e₃}. L'ensemble des combinaisons linéaires formelles sur le corps des réels de la famille (e₁, e₂, e₃) est un S₃-module que l'on note V.

Le groupe S₃ est engendré par les trois transpositions : t₁ défini par t₁(e₂) = e₃, t₂ défini par t₂(e₁) = e₃ et t₃ défini par t₃(e₁) = e₂. Si la représentation est notée (V, ρ) et la matrice de permutation de ρ(t_i) dans la base canonique M_i, alors :

On remarque l'existence de deux espaces stables pour les trois transpositions et donc pour le groupe entier, l'un est engendré par e₁ + e₂ + e₃ et l'autre par les deux vecteurs e₁ - e₂ et e₁ - e₃. V apparait comme la somme directe de deux sous-espaces vectoriel V₁ de dimension un et V₂ de dimension deux. Si ρ₂ le morphisme de groupe de S₃ dans GL(V₂) qui à g élément de G associe la restriction de ρ(g) à V₂, alors (V₂, ρ₂) est une autre représentation du groupe. La restriction de ρ(g) à V₂ est bien un automorphisme car V₂ est stable par ρ(g). On remarque de plus que (V₂, ρ₂) tout comme (V, ρ) est une représentation fidèle.

On remarque enfin, que si V est muni du produit scalaire canonique, les images du groupe G sont des isométries. Il est donc judicieux de choisir comme base de V₂ une base orthonormée, par exemple :

Si N_i désigne la matrice de ρ₂(t_i) dans la base (u, v), on obtient :

La représentation ρ₂ est fidèle et, parmi celles vérifiant cette propriété, de plus petit degré. En effet, toute représentation de degré un a pour image de G un groupe abélien alors que S₃ ne l'est pas. On démontre que toute représentation fidèle de degré deux est isomorphe à celle là.

La figure de droite illustre une interprétation graphique de la représentation. Les lignes rouges représentent les trois axes de symétrie des trois transpositions. On remarque que le triangle est invariant par les transpositions et donc par le groupe entier. Réciproquement, toute isométrie laissant invariant le triangle est élément du groupe.

Exemples généraux

• Si G est un sous-groupe de GL_n(K), G agit naturellement sur Kⁿ. La représentation associée est appelée représentation standard.

• Si l'espace vectoriel V de la représentation est de dimension un, il est possible de l'identifier à K. Si de plus G est un groupe d'ordre fini n , on remarque que si g est un élément du groupe, ρ(g)ⁿ est égal à l'unité. Ce résultat est une conséquence du théorème de Lagrange. La représentation ρ prend donc ses valeurs dans le groupe des racines de l'unité de K. Une représentation d'un groupe fini dans K est appelée représentation unité.

• G agit sur lui-même par multiplication à gauche ; ceci définit une représentation sur K[G]. La représentation associée est appelée représentation régulière.

• De manière plus générale, si G opère sur un ensemble fini E = {e₁,..., e_n}, alors l'espace vectoriel V des combinaisons linéaires formelles de E sur K forme une représentation ρ définie par la formule suivante :

Premiers concepts

Sous-représentation

La notion de sous-représentation correspond à celle de sous-espace vectoriel compatible avec la représentation. Elle possède la définition suivante :

• Un sous-espace vectoriel W de V est dit stable ou invariant pour la représentation (V, ρ) si et seulement si, il est stable par tous les automorphismes ρ_s si s parcourt G.

Cette définition introduit naturellement la suivante :

• Une sous-représentation (W, ρ^w) d'une représentation (V, ρ) est une représentation sur un sous-espace vectoriel W stable par toutes les images des éléments de G par ρ et du morphisme ρ^w qui à un élément s de G associe la restriction de ρ_s à W.

On remarque que la restriction à W de ρ_s est bien un automorphisme de W car ρ_s est un automorphisme laissant W invariant.

Dans le contexte général de l'algèbre linéaire, l'existence d'un sous-espace stable W par un endomorphisme ne permet pas une décomposition de V en deux sous-espaces stables supplémentaires. Pour s'en rendre compte, le plus simple est de considérer un endomorphisme nilpotent sur un espace vectoriel réel de dimension deux. le noyau est un sous-espace stable qui n'admet pas de supplémentaire stable. Cette situation ne se produit pas dans la théorie des représentations de groupes finis :

• Tout sous-espace stable d'une représentation admet un supplémentaire stable.

La démonstration est donnée dans un lemme de l'article Théorème de Maschke.

Cette propriété est illustrée dans l'exemple de la représentation du groupe S₃. L'espace de dimension deux est un supplémentaire stable de l'espace engendré par le vecteur e₁ + e₂ + e₃.

Représentation irréductible

L'objectif est la classification de toutes les représentations d'un groupe fini sur un corps K de caractéristique nulle ou première avec l'ordre du groupe. Cette démarche, analogue à celle de la réduction d'endomorphisme par Jordan, est ici naturelle. Elle se fonde sur la définition suivante :

• Une représentation (V, ρ) est dite irréductible si et seulement si les seuls sous-espaces stables sont V et le vecteur nul.

Une représentation de dimension un est naturellement irréductible. Une telle représentation est à valeur dans un groupe de racines g-ième de l'unité. Que le corps soit de caractéristique nulle ou non, l'ensemble d'arrivé est un groupe cyclique (cf polynôme cyclotomique). En conséquence, une représentation de cette nature n'est fidèle que si le groupe G est cyclique. Une autre conséquence, démontrée dans l'analyse des caractères est qu'un groupe est abélien si et seulement si toute représentation irréductible est de degré un.

La classification est le résultat du théorème suivant connu sous le nom de théorème de Maschke:

• Toute représentation (V, ρ) d'un groupe fini est somme directe de représentations irréductibles.

Connaître toutes les représentations d'un groupe fini revient donc à connaître ses représentation irréductibles, les autres s'obtiennent par somme directe.

Il existe une décomposition canonique, elle se fonde sur la définition suivante :

• Une représentation est dite isotypique si et seulement si elle est somme directe d'une unique représentation irréductible répétée un nombre fini de fois.

La décomposition d'une représentation en sous-espaces isotypiques maximaux est unique, ou encore il n'existe qu'une seule représentation isotypique maximale pour une représentation irréductible donnée.

Produit hermitien

Dans le cas le théorème de Maschke s'applique, alors il existe souvent un bon produit scalaire ou produit hermitien tel que toutes les images par ρ soit des isométries. La définition associée est la suivante :

• Un produit scalaire (ou hermitien) sur V est dit invariant par l'action de G si et seulement si l'image de G par ρ est composée d'isométries.

La proposition est la suivante :

• Soit g l'ordre du groupe G. Si la caractéristique de K est soit nulle soit première avec g et dans ce cas si K est algébrique, alors il existe un produit hermitien laissant G invariant.

La démonstration est donnée dans le paragraphe Produit hermitien de l'article Représentation régulière.

Dans le cas où le corps est de caractéristique nulle, comme il est commutatif, il est inclus dans C le corps des nombres complexes et le produit hermitien est un produit classique. S'il est inclus dans R le corps des réels, le même produit est utilisé, il apparaît néanmoins comme un produit scalaire car la fonction conjuguée est l'identité. Dans le cas où la caractéristique est finie, il est nécessaire de généraliser le produit hermitien (cf Produit hermitien en caractéristique finie).

Caractère

Les caractères représentent un des aspects les plus essentiels de la théorie.

Lemme de Schur

Un aspect important de la théorie des représentations d'un groupe fini, est celui du caractère d'une représentation :

• Le caractère χ_ρ de la représentation (V, ρ) est une application de G dans K qui à s associe la trace de ρ_s.

Cette notion, dans de nombreux cas, caractérise la représentation. La proposition suivante en est un exemple :

• Les caractères de deux représentations isomorphes sont égaux.

Comme toute représentation est somme directe de représentations irréductibles, la définition suivante prend tout son sens :

• Un caractère associé à une représentation irréductible est dit caractère irréductible.

Supposons que K soit égal à le corps des nombres complexes. Un caractère est alors un élément de . Cet espace est muni du produit hermitien défini dans le paragraphe Produit scalaire. Le lemme de Schur permet de démontrer que :

• La famille des caractères irréductibles est orthonormale.

La dernière proposition reste vraie si l'ordre du groupe g est première avec la caractéristique du corps et si le polynôme X^g - 1 est scindé dans le corps. La théorie de Galois garantit qu'une telle extension existe toujours. Dans le cas d'un corps fini l'extension reste un corps fini.

Représentation régulière

Une représentation particulière permet d'obtenir un représentant de chaque représentation irréductible, c'est la représentation régulière :

• Soit V un espace vectoriel de dimension g et (e_s) une base de V indexé par G. Soit ρ le morphisme de groupe de G dans GL(V), qui à u un élément de G associe ρ_u l'automorphisme de V qui a pour image du vecteur e_s le vecteur e_t avec t = u.s. Alors la représentation (V, ρ) est appelée représentation régulière de G.

Si (V_i, ρ_i) quand i varie de 1 à h est la famille des représentations irréductibles de G et d_i la dimension de V_i, alors la représentation régulière contient exactement d_i copies de la représentation (V_i, ρ_i). On obtient l'égalité :

Fonction centrale

Un sous-espace vectoriel de K^G est important, il correspond à l'ensemble des fonctions centrales.

• Une application définie sur G est dite fonction centrale si et seulement si elle est constante sur chaque classe de conjugaison.

Les propriétés des traces montrent que le caractère d'une représentation est une fonction centrale, de plus :

• Les caractères irréductibles forment une base orthonormale des fonctions centrales à valeur dans le corps des nombres complexes.

On en déduit que le nombre de représentations irréductibles est égal au nombre de classes de conjugaison du groupe.

Dans le cas où K est de caractéristique nulle, alors si le corps de décomposition du polynôme X^g - 1 est inclus dans K, les résultats précédents s'appliquent. Dans le cas où K est de caractéristique p non nulle, alors si p est premier avec g et si K est algébrique les résultats s'appliquent encore.

Algèbre d'un groupe

Structure semi-simple

La théorie des représentations se fonde sur deux approches, qui, sous des angles différents, permet l'analyse des représentations d'un groupe. La première est couverte par le paragraphe précédent, les caractères, la deuxième se fonde sur des structures : celle d'algèbre et de module. Une des raisons de la richesse de la théorie est la complémentarité de ces deux points de vue bien distincts.

Le groupe peut être linéarisé, c’est-à-dire que les éléments de G sont utilisés pour indexer une base (e_s) où s parcourt G, d'un K espace vectoriel. Le prolongement par linéarité permet de définir une multiplication interne :

La structure obtenue est celle d'une algèbre associative sur un corps commutatif K. Elle est appelée algèbre du groupe G et est noté K[G]. Elle correspond à la représentation régulière, le contexte opératoire est néanmoins enrichi. Une algèbre simple correspond à une sous-algèbre dont les seuls idéaux bilatères (c’est-à-dire à idéal à droite et à gauche) sont l'ensemble nul et la sous-algèbre elle même. Cette notion correspond à celle de l'irréductibilité pour les représentations. Dans ce contexte, le théorème de Mascke s'énonce un peu différemment, il exprime ici que tout idéal bilatère de l'algèbre est facteur direct, c’est-à-dire qu'il possède un idéal bilatère supplémentaire. Une telle structure prend le nom d'algèbre semi-simple.

Elle permet d'interpréter différemment une représentation (V, ρ). Le morphisme ρ de G dans GL(V) peut être prolongé par linéarité sur K[G]. L'espace vectoriel est alors enrichi d'une structure de module sur l'anneau K[G]. Une telle structure prend le nom de G-module. Il existe une équivalence stricte entre les notions de représentation et celle de G-module. Les sous-modules correspondent exactement aux sous-espaces invariant par ρ. Un sous-espace irréductible prend ici le nom de sous-module simple. Avec les mêmes définitions que pour le cas de l'algèbre, le théorème de Maschke démontre que tout sous-module est un facteur direct, on parle alors de module semi-simple.

En dimension fini, une algèbre semi-simple, ainsi qu'un module semi-simple est somme directe de structures simples.

Théorème d'Artin-Wedderburn

La théorie des algèbres semi-simple est vaste et dispose de nombreux théorèmes. Le plus fondamental est probablement celui d'Artin-Wedderburn. Si K possède de bonnes propriétés, celles décrite dans le paragraphe sur les caractères, alors K[G] est somme directe de sous-algèbres isomorphes à L_K(S_i) l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel sur K nommé ici S_i et de dimension finie.

Les espaces vectoriel S_i correspondent à une famille maximale de sous-espaces irréductibles pour la représentation régulière non isomorphe deux à deux. Sous cet angle, l'égalité entre l'ordre du groupe et les degrés des représentations irréductibles s'éclaire sous un jour nouveau.

Les carrés s'interprètent comme les dimensions d'algèbres d'endomorphismes. Les composantes isotypiques correspondent à ces espaces. Ce premier résultat permet de démontrer que les composantes isotypiques forment une unique décomposition en sous-représentations à la différence d'une somme directe de représentations irréductibles.

Conséquences du théorème

L'utilisation du nouvel axe d'analyse comporte de nombreuses conséquences. On peut les classifier en trois parties :

La vision apportée par les caractères est enrichie. Un exemple est celui des fonctions centrales. Un ensemble révélateur de la structure est le centre de K[G], c’est-à-dire l'ensemble des éléments qui commutent avec toute l'algèbre. Il vérifie la propriété suivante :

• Soit c une classe de conjugaison et d_c la somme des éléments de la base canonique indexés par un élément de c. Le centre de K[G] est l'espace vectoriel engendré par les éléments d_c lorsque c parcourt l'ensemble des classes de conjugaison.

En conséquence si les éléments d_c sont identifiés à c, l'espace des fonctions centrales apparaît comme l'espace vectoriel dual du centre de G. Il existe un isomorphisme plus profond, respectant les structures d'algèbres :

• L'application φ défini ci-dessous, de l'espace des fonctions centrales K^C dans le centre de K[G] est un isomorphisme d'algèbre sur K.

Ce résultat permet, par exemple de démontrer l'importante loi de réciprocité de Frobenius.

Le centre de l'algèbre est un anneau commutatif contenant K, cette configuration permet d'utiliser les théorèmes d'arithmétique et particulièrement ceux sur les entiers algébriques. Cette approche est à la base de la démonstration du fait que le degré de toute représentation irréductible divise l'ordre du groupe (cf le paragraphe Entier algébrique de l'article associé à ce paragraphe).

Enfin, les hypothèses restrictives sur le corps peuvent être retranchées sans effondrement de la théorie. Si elle devient différente, les résultats sur les algèbres semi-simples permettent néanmoins de conclure dans de nombreux cas. Cette configuration se produit si la caractéristique de K divise l'ordre du groupe où si le polynôme X^g - 1 n'est pas scindé, comme souvent pour le corps des nombres réels.

Extension

Motivation

Un objectif important de la théorie des groupes finis est la classification. Elle se fonde sur deux concepts : un ensemble de briques élémentaires correspondant à des groupes finis facilement analysable et une extension qui permet, à l'aide des briques élémentaires de construire les groupes de la famille.

Dans le cas des groupes abéliens, les briques élémentaires sont constituées par les groupes cycliques, l'extension est celle du produit direct. Ainsi tout groupe abélien fini est produit direct de groupes cycliques.

Dans le cas général, les briques élémentaires sont les groupes simples et l'extension les produits directs et semi-directs.

Il est donc naturel de traduire en termes de représentations les deux grandes méthodes d'extension.

Produit tensoriel

Le produit tensoriel est compatible avec les représentations, ce qui signifie que l'on peut définir le produit tensoriel de deux représentations. On peut donc obtenir une représentation à l'aide de deux représentations d'un groupe, ou encore une représentation à l'aide de deux représentations de deux groupes distincts.

Dans le deuxième cas, on obtient une représentation du groupe produit. Cette méthode respecte les représentations irréductibles. L'application produit tensoriel des représentations irréductibles des deux groupes est à valeur dans les représentations irréductibles du groupe produit. De plus, cette application est bijective. C’est-à-dire qu'un groupe contenant deux sous-groupes dont il est le produit direct a pour caractère irréductibles des produits de caractères irréductibles des représentations des sous-groupes.

Le caractère du produit tensoriel deux deux représentations est le produit des deux caractères.

On peut enfin noter qu'il existe deux sous-espaces naturellement invariant dans le produit tensoriel de deux espaces, ceux correspondant aux formes bilinéaires symétriques et ceux aux formes alternées.

Les démonstrations (présentes dans l'article associé) se fondent essentiellement sur les propriétés des caractères.

Représentation induite

Une représentation induite est un mode de construction d'une représentation d'un groupe G à l'aide d'un de ses sous-groupes H. Soit (W, θ) une représentation de H, une représentation (V, ρ) est dite induite par celle de (W, θ) si et seulement si les différents sous-espaces ρ_cW où les valeurs de c forment un système de représentants des classes à gauche de G/H, sont, en somme directe, égale à V.

Il existe une unique représentation induite de G par une représentation (W, θ) d'un sous-groupe H. En termes de G-module, la représentation induite s'exprime simplement :

Elle correspond à une extension des scalaires K[H] à l'anneau K[G] sur le H-module W.

Dans le cas où H est un sous-groupe normal de G, la représentation induite est équivalente à un produit semi-direct. La technique de la représentation induite est largement utilisée en théorie des groupes finis, par exemple pour la caractérisation des groupes simples.

Les représentations induites sont le cadre de nombreux théorèmes. On peut citer l'un des plus anciens : la formule de réciprocité de Frobenius Si ψ désigne le caractère de la représentation θ de H et χ celui d'une représentation de G, si Ind ψ désigne le caractère d'une représentation induite et Res χ le caractère de la restriction de ρ à H, alors :

Notes et références

Articles sur les Représentations d'un groupe d'ordre fini

Représentations d'un groupe fini | Théorie des représentations | Théorème de Maschke | Caractère | Lemme de Schur | Représentation régulière | Fonction centrale | Produit tensoriel | Algèbre d'un groupe fini | Représentation induite | Réciprocité de Frobenius | Critère d'irréductibilité de Mackey | Groupe symétrique d'indice trois | Groupe symétrique d'indice quatre | Groupe des quaternions | Théorème de Burnside (groupe résoluble) | Théorème de Burnside (problème de 1902)

Notes

Liens externes

• (fr) Cours de représentation des groupes finis par M. Broué de l'université de Paris VII
• (fr) Représentation linéaire des groupes finis, une introduction par D. Ferrand de l'université de Renne

Références

• Jean-Pierre Serre, Représentations linéaires des groupes finis [détail des éditions]
• (en) Marshall Hall, The theory of groups [détail des éditions]
• Serge Lang, Algèbre, Dunod, 2004, 926 p. (ISBN 2100079808) [détail des éditions]
• N. Bourbaki Algèbre, Chapitre VIII Paris, Hermann 1958

• Portail des mathématiques