Représentations du groupe symétrique d'ordre trois

Représentations du groupe symétrique d'ordre trois: Représentations du groupe symétrique d'indice trois

En mathématiques les représentations du groupe symétrique d'indice trois noté S₃ sont un exemple simple d'application de la théorie des représentations d'un groupe fini.

Sur un corps de caractéristique nulle et contenant toutes les racines sixièmes de l'unité, il existe trois représentations irréductibles du groupe symétrique d'indice trois, la représentation triviale, celle correspondant à la signature et une d'ordre deux correspondant aux isométries linéaires laissant invariant un triangle équilatéral.

L'analyse des représentations de S₃ est une illustration des concepts comme le théorème de Maschke, le caractère, la représentation régulière, les représentations induites et la réciprocité de Frobenius. Les constructions des différentes représentations sont ici réalisées manuellement, ce que permet la petitesse de l'ordre du groupe.

Sommaire

1 Représentations du groupe S₃

1.1 Représentation régulière

1.2 Théorème de Maschke

2 Caractère

2.1 Orthogonalité

2.2 Fonction centrale

3 Représentation induite

3.1 Représentation induite par Z/3Z

3.2 Formule de Frobenius

4 Notes et références

4.1 Notes

4.2 Liens externes

4.3 Références

Représentations du groupe S₃

Représentation régulière

Article détaillé : Représentation régulière.

Le groupe est d'ordre suffisamment limité pour permettre une représentation matricielle exhaustive de la représentation régulière. Si cette méthode est trop lourde pour être envisagé ne serait-ce que pour S₄, elle est ici praticable.

Le groupe S₃ contient six éléments et trois classes de conjugaison, la première ne contient que l'identité noté 1, la deuxième les transpositions t₁ = (23), t₂ = (13) et t₃ = (12) et la troisième les deux cycles d'ordre trois c₁ = (123) et c₂ = (132). Si V est l'espace vectoriel de la représentation régulière, alors (1, c₁, c₂, t₁, t₂, t₃) est la base canonique de la représentation, à l'ordre près.

Soit ρ le morphisme de groupe de S₃ dans le groupe général linéaire GL(V) de V. Soit x et y deux éléments de G et donc de la base de V. Par définition de la représentation régulière, ρ_x(y) = xy. On en déduit les matrices M_x de la représentation :

$M_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ $,\quad M_{c_1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ $,\quad M_{c_2}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$M_{t_1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ $,\quad M_{t_2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad$ $,\quad M_{t_3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

On remarque l'existence de deux vecteurs propres pour toutes les images de ρ :
$f_1=1+c_1+c_2+t_1+t_2+t_3 \quad et \quad f_2=1+c_1+c_2 - t_1 - t_2 - t_3 \;$
Toute permutation laisse f₁ invariant, toute permutation paire laisse f₂ invariant et toute permutation impaire transforme f₂ en -f₂. On obtient ainsi deux représentations de degré un, l'une t est la représentation triviale, associant un à chaque élément de S₃, l'autre $σ$ associe la signature. Ces représentations sont de degré un donc irréductibles.

1 c₁ c₂ t₁ t₂ t₃

t 1 1 1 1 1 1

σ 1 1 1 -1 -1 -1

Théorème de Maschke

Article détaillé : Théorème de Maschke.

Recherchons les autres représentations, le théorème de Maschke indique qu'elles sont toutes sommes directes de représentations irréductibles, il suffit donc de connaître toutes les représentations irréductibles.

Tout sous-espace vectoriel stable pour la représentation possède un supplémentaire stable pour cette représentation, le théorème de Maschke indique une méthode pour le trouver. Soit F l'espace vectoriel engendré par f₁ et f₂ et p le projecteur sur F parallèlement à l'espace engendré par c₁, c₂, t₁, t₂, alors le projecteur p₀ défini par l'égalité suivante possède un noyau stable par toutes les images de ρ.
$p_0=\frac{1}{6}\sum_{t\in G}\rho_t \circ p \circ \rho_t^{-1}$
Dans la base canonique, on obtient les matrices P et P₀ des deux projecteurs :
$P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ,\quad P_0=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
Notons G le noyau de p₀. Le projecteur p₀ est composé de deux matrices bloc égales, c'est la matrice du projecteur dont le noyau est composé des vecteurs colonnes de somme nulle. Notons G le noyau de p₀. Si j désigne la racine cubique de l'unité, alors on obtient la base suivante de G
$g_1=1+j.c_1+j^2.c_2\quad g_2=1+j^2.c_1+j.c_2\quad g_3=t_1+j.t_2+j^2.t_3\quad g_4=t_1+j^2.t_2+j.t_3$
Considérons alors la représentation (G, φ) la représentation où φ est la restriction de ρ à G. Si G_x est la matrice de φ_x dans la base (g_i) pour x élément de S₃, on obtient :
$G_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad G_{c_1}=\begin{pmatrix} j^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & j & 0 & 0 \\ 0 & 0 & j & 0 \\ 0 & 0 & 0 & j^2 \end{pmatrix},\quad G_{c_1}=\begin{pmatrix} j & 0 & 0 & 0 \\ 0 & j^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & j^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & j \end{pmatrix}$

$G_{t_1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad G_{t_2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & j & 0 \\ 0 & 0 & 0 & j^2 \\ j^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & j & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad G_{t_3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & j^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & j \\ j & 0 & 0 & 0 \\ 0 & j^2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Représentation de S₃ comme groupe des isométries du triangle

On remarque alors que l'espace vectoriel H engendré par g₁ et g₃ est un sous-espace stable par φ, il possède le supplémentaire engendré par g₂ et g₄ aussi stable et dont la représentation est isomorphe à celle de H. Soit θ la restriction de φ à H, (H, θ) est une représentation de degré deux, elle est présente deux fois dans la représentation ρ. Cette représentation est irréductible car sinon ρ serait une représentation de matrices diagonales et son ensemble d'arrivé serait un groupe abélien, ce qui est impossible car ce groupe est isomorphe à S₃ qui ne l'est pas.

Considérons la base de H composée des deux vecteurs suivants h₁ = g₁ + g₃ et h₁ = i.(g₁ - g₃) où i désigne un complexe imaginaire de carré égal à -1. Soit H_x la matrice de θ_x dans cette base. On a alors :
$H_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad H_{c_2}=\begin{pmatrix} cos\frac{2\pi}3 & -sin\frac{2\pi}3 \\ sin\frac{2\pi}3 & cos\frac{2\pi}3 \end{pmatrix},\quad H_{c_1}=\begin{pmatrix} cos\frac{-2\pi}3 & -sin\frac{-2\pi}3 \\ sin\frac{-2\pi}3 & cos\frac{-2\pi}3 \end{pmatrix}$ $H_{t_1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},\quad H_{t_2}=\begin{pmatrix} cos\frac{2\pi}3 & sin\frac{2\pi}3 \\ sin\frac{2\pi}3 & -cos\frac{-2\pi}3 \end{pmatrix},\quad H_{t_3}=\begin{pmatrix} cos\frac{-2\pi}3 & sin\frac{-2\pi}3 \\ sin\frac{-2\pi}3 & -cos\frac{-2\pi}3 \end{pmatrix}$
On reconnaît le groupe diédral du triangle représenté sur la figure de droite, les rotations c₁ et c₂ sont au nombre de deux, elle déplace le point 1 vers j ou j₂ si le plan est identifié au plan complexe, les trois symétries, correspondant aux transpositions ont un axe représenté en rouge sur la figure.

En conclusion, la représentation régulière est composée d'une somme directe de quatre représentations : deux de degré un, la représentation triviale et celle associée à la signature, et deux de degré deux, isomorphes et correspondant aux applications linéaires laissant un triangle invariant.

Caractère

Orthogonalité

Article détaillé : Caractère d'une représentation d'un groupe fini.

Le caractère d'une représentation correspond à la fonction du groupe dans le corps qui à un élément s associe la trace de sa représentation. Dans les paragraphes précédents, cinq représentations ont été explicitées, la représentation régulière ρ, la triviale t, celle associée à la signature σ, celle associée à φ de degré quatre et enfin celle de θ de degré deux.

Si, à chaque valeur du groupe, on associe son caractère, on obtient le tableau suivant:

Car. de S₃ 1 t₁ t₂ t₃ c₁ c₂

ρ 6 0 0 0 0 0

σ 1 -1 -1 -1 1 1

t 1 1 1 1 1 1

φ 4 0 0 0 -2 -2

θ 2 0 0 0 -1 -1

Les caractères sont associés à un produit hermitien. Si χ₁ et χ₂ sont deux caractères et si x^* désigne le nombre complexe conjugué de x, alors leur produit est le suivant :
$<\chi_1\, |\, \chi_2>=\frac 16\sum_{s \in S_3} \chi_1(s).\chi_2(s)^*$
Un caractère est irréductible si et seulement si sa norme, associé au produit scalaire est égale à un. Il est donc simple de vérifier que φ n'est pas une représentation irréductible, mais que θ l'est :
$<\chi_{\varphi}\,|\,\chi_{\varphi}>=\frac 16(4^2+2^2+2^2)=4\quad et \quad <\chi_{\theta}\,|\,\chi_{\theta}>=\frac 16(2^2 + (-1)^2 + (-1)^2)=1$
Deux représentations irréductibles sont orthogonales, il est simple de vérifier ce fait dans l'exemple S₃ :
$<\chi_{\sigma}\,|\,\chi_{\theta}>=\frac 16(1\times 2+3(-1\times 0)+2(1\times -1)=0\quad ou \; encore \quad <\chi_t\,|\,\chi_{\theta}>=\frac 16(1\times 2+3(1\times 0)+2(1\times -1)=0$
Fonction centrale

Article détaillé : Fonction centrale d'un groupe fini.

Dans le cas de S₃ les caractères utilisés ici sont tous constants sur les classes de conjugaison. Cette propriété est générale à tous les groupes et toutes les représentations. Une fonction centrale est une application définie dans un groupe et constante sur chaque classe de conjugaison.

Les représentations irréductibles possèdent une autre propriété, il en existe autant que de classes de conjugaison. Dans le cas de S₃, il existe exactement trois classes de conjugaisons, celle de l'unité, celle des transpositions t et celle des cycles d'ordre trois c. Il existe de même trois représentations irréductibles, la triviale t, celle associée à la signature σ et celle de degré deux fidèle (c'est-à-dire injective) θ. Pour cette raison, les tableaux représentant les caractères des représentation d'un groupe sont des tableaux carrés, ne contenant que les représentations irréductibles, car les autres s'en déduisent par produit direct et définis sur les classes de conjugaison. On obtient pour le groupe S₃ le tableau suivant :

Car. irr. 1 c t

t 1 1 1

σ 1 1 -1

θ 2 -1 0

La famille des caractères irréductibles est une famille libre car orthogonale, elle est génératrice car de cardinal la dimension de l'espace, c'est donc une base orthonormale des fonctions centrales. Cette propriété permet, à l'aide d'un caractère de déterminer la nature de la représentation à un isomorphisme près. Si χ est le caractère d'une représentation r et χ_i le caractère d'une représentation irréductible i, le produit hermitien <χ_r | χ_i> indique le nombre de copies de la représentation i présente dans r. Une opération de même nature que la Transformée de Fourier permet alors de déterminer toute représentation une fois les représentations irréductibles et leurs caractères connus. On vérifie par exemple que :
$<\chi_{\rho}\, |\, \chi_t> = \frac 16 \Big(1.(6\times 1) + 2.(0 \times 1) + 3.(0 \times 1)\Big) = 1$ $<\chi_{\rho}\, |\, \chi_{\sigma}> = \frac 16 \Big(1.(6\times 1) + 2.(0 \times 1) + 3.(0 \times -1)\Big) = 1$ $<\chi_{\rho}\, |\, \chi_{\theta}> = \frac 16 \Big(1.(6\times 2) + 2.(0 \times -1) + 3.(0 \times 0)\Big) = 2$
En conséquence, la représentation régulière contient une copie de la représentation triviale, une de la représentation signature et deux de la représentation θ, l'unique représentation de degré deux.

Dans le cas général, si h désigne le nombre de classe de conjugaison, d_i pour i compris entre 1 et h (qui est aussi le nombre de représentations irréductibles) le degré de la i-ième représentation irréductible et g l'ordre du groupe on dispose de la formule :
$g = \sum_{i=1}^h d_i^2 \;$
Ce qui, dans le cas particulier du groupe S₃, donne l'égalité suivante :
$6 = 1^2 + 1^2 + 2^2 \;$
Représentation induite

Représentation induite par Z/3Z

Article détaillé : Représentation induite d'un groupe fini.

Il existe une autre méthode pour construire une représentation, il suffit de considérer une représentation d'un sous-groupe et de construire la représentation induite. C'est l'approche utilisée dans ce paragraphe pour déterminer l'unique représentation irréductible fidèle de S₃.

Considérons H le sous groupe {1, c₁, c₂), E un espace vectoriel complexe de base f₁, et (E, α) la représentation de H, par exemple de caractère (1, j, j²). La théorie assure l'existence d'une unique représentation de S₃ (F, β) induite par α. Soit e₂ l'image de e₁ par β(t₁), comme t₁ n'est pas élément du groupe H, cet élément n'est pas inclus dans E. Comme S₃/H est d'ordre deux, F est de dimension le double de celle de E, donc de dimension deux. Ceci démontre que (e₁, e₂) est une base de F. Il ne reste plus qu'à déterminer l'image de cette base par la représentation β :
$\beta_1(e_1) = e_1 \quad \beta_{c_1}(e_1)=j.e_1 \quad \beta_{c_2}(e_1)=j^2.e_1 \quad \beta_{t_1}(e_1)=e_2 \quad \beta_{t_2}(e_1)=\beta_{t_1} \circ\beta_{c_1}(e_1)=j.e_2 \quad \beta_{t_3}(e_1)=\beta_{t_1}\circ\beta_{c_2}(e_1)=j^2.e_2 \;$ $\beta_1(e_2) = e_2 \quad \beta_{c_1}(e_2)=\beta_{t_3}(e_1)=j^2.e_2 \quad \beta_{c_2}(e_2)=\beta_{t_2}(e_1)=j.e_2 \quad \beta_{t_1}(e_2)=e_1 \quad \beta_{t_2}(e_2)=\beta_{c_2}(e_1)=j^2.e_1 \quad \beta_{t_3}(e_1)=\beta_{c_1}(e_1)=j.e_1 \;$
On en déduit la représentation matricielle B_x où x est un élément de S₃ de β :
$B_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad B_{c_1}=\begin{pmatrix} j & 0 \\ 0 & j^2 \end{pmatrix},\quad B_{c_2}=\begin{pmatrix} j^2 & 0 \\ 0 & j \end{pmatrix} , \quad B_{t_1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad H_{t_2}=\begin{pmatrix} 0 & j \\ j^2 & 0 \end{pmatrix},\quad H_{t_3}=\begin{pmatrix} 0 & j^2 \\ j & 0 \end{pmatrix}$
Son caractère est égal à celui de θ, β et θ sont deux de représentations isomorphes. On retrouve, de manière plus simple, l'unique représentation irréductible de degré deux.

Formule de Frobenius

Article détaillé : Réciprocité de Frobenius.

La formule de réciprocité de Frobenius permet de déterminer la nature de la représentation induite avant même de réaliser sa construction. Elle donne le produit scalaire de deux caractères dans S₃ en fonction du produit scalaire dans H :
$<Ind_H^{S_3}\,\chi_{\alpha}\, |\, \chi_{\theta}>_{S_3}= <\chi_{\alpha}\, |\, Res_H^{S_3}\,\chi_{\theta}>_H = \frac 13 \Big(1\times 2 + j\times (-1) + j^2\times (-1)\Big)=1\;$
Ici, Ind signifie le caractère de la représentation induite et Res signifie le caractère de la restriction à H.

Si K désigne le sous-groupe {1, t₁} et γ la représentation qui associe -1 à t₁, il est possible de déterminer a priori quel est la nature de γ :
$<Ind_K^{S_3}\,\chi_{\gamma}\, |\, \chi_{\theta}>_{S_3}= <\chi_{\gamma}\, |\, Res_K^{S_3}\,\chi_{\theta}>_K = \frac 12 \Big(1\times 2 + (-1)\times 0\Big)=1\;$ $<Ind_K^{S_3}\,\chi_{\gamma}\, |\, \chi_{\sigma}>_{S_3}= <\chi_{\gamma}\, |\, Res_K^{S_3}\,\chi_{\sigma}>_K = \frac 12 \Big(1\times 1 + (-1)\times (-1)\Big)=1\;$
La représentation de S₃ induite par la représentation non triviale de K est donc le produit direct des représentations θ et σ.

Notes et références

Articles sur les Représentations d'un groupe d'ordre fini

Représentations d'un groupe fini | Théorie des représentations | Théorème de Maschke | Caractère | Lemme de Schur | Représentation régulière | Fonction centrale | Produit tensoriel | Algèbre d'un groupe fini | Représentation induite | Réciprocité de Frobenius | Critère d'irréductibilité de Mackey | Groupe symétrique d'indice trois | Groupe symétrique d'indice quatre | Groupe des quaternions | Théorème de Burnside (groupe résoluble) | Théorème de Burnside (problème de 1902)

Notes

Liens externes

(fr) Cours de représentation des groupes finis par M. Broué de l'université de Paris VII

(fr) Représentation linéaire des groupes finis, une introduction par D. Ferrand de l'université de Rennes

(fr) Représentations linéaires des groupes finis Par Gabriel Peyré

Références

Jean-Pierre Serre, Représentations linéaires des groupes finis [détail des éditions]

(en) Marshall Hall, The theory of groups [détail des éditions]

Serge Lang, Algèbre, Dunod, 2004, 926 p. (ISBN 2100079808) [détail des éditions]

N. Bourbaki Algèbre, Chapitre VIII Paris, Hermann 1958

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Catégorie : Théorie des représentations

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