Sous-groupe normal

Sous-groupe normal

En théorie des groupes, un sous-groupe normal ou sous-groupe distingué ou sous-groupe invariant H d'un groupe G est un sous-groupe globalement stable par l'action de G sur lui-même par conjugaison. Les sous-groupes normaux interviennent naturellement dans la définition du quotient d'un groupe. Les sous-groupes normaux de G sont exactement les noyaux des morphismes définis sur G.

Les sous-groupes normaux connaissent des applications en géométrie dans l'étude des actions de groupes, en topologie algébrique dans la classification des revêtements, en théorie de Galois dans la correspondance de Galois.

Sommaire

Définition

On dit qu'un sous-groupe H d'un groupe G est normal (ou distingué) dans G s'il est stable par conjugaison, c'est-à-dire si :

\forall h\in H,~\forall x\in G,\qquad x h x^{-1} \in H.

On note alors H\trianglelefteq G.

Une façon équivalente de définir un sous-groupe distingué est de dire que les classes à droite et à gauche de H dans G coïncident, c'est-à-dire :

\forall x \in G,\qquad x H = H x.

Groupe quotient

Les sous-groupes distingués sont importants dans l'étude des groupes quotients à cause du résultat suivant :

On peut construire un groupe quotient G / H de loi compatible avec celle de G

si et seulement si

H est un sous-groupe distingué de G.

Lien avec les morphismes de groupes

  • L'image réciproque d'un sous-groupe normal par un morphisme de groupes est un sous-groupe normal.

Plus précisément, si N est un sous-groupe normal de G'~ et si f:G\to G' est un morphisme alors l'image réciproque f − 1(N) est un sous-groupe normal de G car pour h\in f^{-1}(N), l'image f(h) appartient à N, et donc f(xhx − 1) = f(x)f(h)f(x) − 1 aussi, pour tout x\in G.

  • Les sous-groupes normaux d'un groupe G sont les sous-ensembles de G qui sont le noyau d'un morphisme de G dans un autre groupe.

En effet, le noyau d'un morphisme de groupes f:G\to G' est un sous-groupe normal de G, comme image réciproque du sous-groupe trivial de G'~. Réciproquement, tout sous-groupe normal N de G est un noyau : celui de la surjection canonique de G dans le groupe quotient G / N.

Exemples

  • {e} et G sont toujours des sous-groupes normaux de G. S'ils sont les seuls sous-groupes normaux et si G\neq\{e\}, alors G est dit simple.
  • Un sous-groupe caractéristique de G est un sous-groupe stable par l'action de tous les automorphismes de G (ce qui n'est pas toujours le cas dans l'exemple précédent). Un tel sous-groupe est en particulier stable par tout automorphisme intérieur, autrement dit c'est un sous-groupe normal. Par exemple, le centre et le sous-groupe dérivé d'un groupe sont des sous-groupes caractéristiques donc normaux.
  • Le centre de G est le sous-groupe :
Z_G = \left\{ x \in G\ |\ \forall y \in G, x y = y x \right\}
  • Le sous-groupe dérivé de G est le sous-groupe engendré par les commutateurs, soit :
D(G)=\langle\{aba^{-1}b^{-1}|(a, b)\in G^2\}\rangle.
C'est le plus petit sous-groupe distingué de G tel que le quotient soit commutatif.
  • Si G est un groupe et H un sous-groupe de G, le cœur de H dans G est défini par H_{G}=\bigcap_{g \in G}{gHg^{-1}}. C'est un sous-groupe de H qui est normal dans G et qui contient tous les sous-groupes de H qui sont normaux dans G. Si H est d'indice fini n dans G alors le groupe quotient G / HG est isomorphe à un sous-groupe de Sn, le groupe symétrique sur n éléments.

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Sous-groupe normal de Wikipédia en français (auteurs)

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