Produit semi-direct

Produit semi-direct

Dans la théorie des groupes, le produit semi-direct permet de définir un groupe G à partir de deux groupes H et K, et généralise la notion de produit direct de deux groupes.

Sommaire

Produit semi-direct interne

Un groupe G est produit semi-direct interne d'un sous-groupe distingué H par un sous-groupe K si et seulement si l'une des définitions équivalentes suivantes est vérifiée :

  • H\cap K=\{1\} \text{ et } G=HK (en d'autres termes, H et K sont compléments l'un de l'autre dans G)
  • \forall x \in G, \exists ! (x_1, x_2) \in H \times K \ / \ x = x_1 x_2
(Tout élément de G s'écrit de manière unique comme produit d'un élément de H et d'un élément de K)


La décomposition des éléments de G comme produit d'un élément de H et d'un élément de K est d'une certaine façon compatible avec la loi de composition du groupe. Soit en effet

g_1 = h_1k_1 \text{ et } g_2 = h_2k_2\

deux éléments de G ainsi décomposés. On a :

g_1g_2 = h_1k_1h_2k_2 = (h_1k_1h_2k_1^{-1})(k_1k_2)\

décomposé en un élément h_1k_1h_2k_1^{-1} de H (on utilise ici le fait que H est distingué), et un élément k1k2 de K.

Dans ce cas, le groupe K agit par conjugaison sur H, et le groupe G est donc isomorphe au produit semi-direct externe, c'est-à-dire au groupe défini par le produit cartésien de H par K muni de la loi :

(h_1,k_1)(h_2,k_2)=(h_1(k_1h_2k_1^{-1}),k_1k_2)

Pour tout k \in K, l'application

\quad f(k) : H \to H : h \mapsto khk^{-1}

est un automorphisme de H. En outre l'application

f : K \to Aut(H) : k \mapsto f(k)

est un morphisme de groupes.

Produit semi-direct externe

On est donc amené à poser la définition plus générale suivante. Deux groupes, \scriptstyle H et \scriptstyle K, et un morphisme \scriptstyle f de \scriptstyle K dans le groupe \scriptstyle {\rm Aut}(H) des automorphismes de \scriptstyle H, étant donnés, on peut définir le produit semi-direct externe \scriptstyle G de \scriptstyle H et \scriptstyle K suivant \scriptstyle f comme le produit cartésien de \scriptstyle H et \scriptstyle K muni de la loi de groupe :

(h_1,k_1)(h_2,k_2)=(h_1f(k_1)(h_2),k_1k_2)~

où l'inverse d'un élément \scriptstyle \left(h,k\right) est \scriptstyle \left(f(k^{-1})(h^{-1}),\ k^{-1}\right)~.

On peut injecter \scriptstyle H dans \scriptstyle G par l'application \scriptstyle h\ \mapsto\ (h, e_K), et injecter \scriptstyle K dans \scriptstyle G par l'application \scriptstyle k\ \mapsto\ (e_H, k)~. On vérifie alors que \scriptstyle G est le produit semi-direct interne de \scriptstyle H par \scriptstyle K au sens donné en début d'article. On vérifie également que l'automorphisme \scriptstyle f(k) est l'automorphisme de conjugaison par \scriptstyle k. On note :

G = H \rtimes_f K ou tout simplement G = H \times_f K

Le cas où \scriptstyle f est le morphisme trivial de groupe (ie f(k1)(h2) = h2 ) correspond au produit direct.

Exemples

  • Le groupe diédral Dn peut par exemple être considéré comme produit semi-direct d'un groupe cyclique Cn d'ordre n par un groupe cyclique C2 d'ordre 2, où l'unité de C2 agit sur Cn comme l'application identique et l'autre élément de C2 agit sur Cn par inversion. Explicitement:
\text {si} \quad C_n=<x>, C_2=<y> \text { alors}\quad f(1)(x^k)=x^k, f(y)(x^k)=x^{-k} \quad \forall k \in \{0,1,2,..., n-1\}.

Géométriquement, le groupe Cn est engendré par une rotation, le groupe C2 par une réflexion.

  • Le groupe affine est le produit semi-direct du groupe additif formé de l'espace vectoriel E sous-jacent à l'espace affine (isomorphe au groupe des translations), par le groupe linéaire de cet espace vectoriel. Si on identifie l'espace affine à son espace vectoriel E, un élément f du groupe affine est de la forme f(v) = u + φ(v) où φ est un élément du groupe linéaire et u un vecteur de E. f est donc défini par la donnée du couple (u,φ). La composée des applications affines se traduira alors par la loi de groupe semi-direct suivante :
(u,\varphi)(v,\psi) = (u + \varphi(v), \varphi \circ \psi).
  • En particulier, le groupe des isométries affines est le produit semi-direct du groupe des translations par le groupe des isométries laissant invariant un point donné.
  • L'holomorphe d'un groupe G peut être défini comme le produit semi-direct de G par Aut(G) (groupe des automorphismes de G) relativement à l'opération naturelle de Aut(G) sur G.

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