Application linéaire

Application linéaire

En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition des vecteurs et la multiplication scalaire définie dans ces espaces vectoriels, ou, en d’autre termes, qui « préserve les combinaisons linéaires ».

Sommaire

Définitions

Soit ƒ une application de E dans F où E et F sont deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K.

L'application ƒ est une application linéaire (ou morphisme de K-espaces vectoriels) si et seulement si :

  • \forall x\in E,\forall y\in E,f(x+y)=f(x)+f(y),
  • \forall\lambda\in K,\forall x\in E,f(\lambda x)=\lambda f(x).

Une application ƒ possédant la première propriété est dite additive, et, pour la seconde, homogène. Elle possède ces deux propriétés à la fois si et seulement si :

  • \forall(x,y)\in E^2,\forall(\lambda,\mu)\in K^2,f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y),

ou plus simplement, si et seulement si :

  • \forall(x,y)\in E^2,\forall\mu\in K,f(x+\mu y)=f(x)+\mu f(y).
Un isomorphisme est un morphisme bijectif.
Un endomorphisme est un morphisme ayant même espace vectoriel de départ et d'arrivée.
Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.
Si l'espace vectoriel d'arrivée est le corps K on parle de forme linéaire.

On note

  • LK(E,F) l’espace vectoriel des applications linéaires de E dans F ;
  • IsomK(E,F) l’ensemble des isomorphismes de E dans F;
  • LK(E) l’espace vectoriel des endomorphismes de E ;
  • GLK(E) (appelé aussi le groupe linéaire) le groupe des automorphismes de E.

(Le corps K en indice est parfois omis et implicite.)

Noyau et Image

Si ƒ est une application linéaire de E dans F, alors le noyau de ƒ, noté Ker(ƒ), et l’image de ƒ, notée Im(ƒ), sont définis par

\operatorname{Ker}(f)=\{\,x\in E \;|\; f(x)=0\,\}=f^{-1}(\{0\})
\operatorname{Im}(f)=\{\,f(x) \;|\; x\in E\,\}=f(E)

Ker provient de Kernel, traduction de « noyau » en allemand. Im provient de image. L'ensemble Ker(ƒ) est un sous-espace vectoriel de E et l'ensemble Im(ƒ) est un sous-espace vectoriel de F. Plus généralement,

Le théorème de factorisation affirme que f induit un isomorphisme de l'espace vectoriel quotient E/kerf sur l'image im f. Deux espaces isomorphes ayant même dimension, il suit la relation suivante, valable pour un espace E de dimension finie, appelée théorème du rang :

\dim(\operatorname{Ker}( f )) + \dim(\operatorname{Im}( f )) = \dim( E ) \,.

Le nombre dim( Im(ƒ) ) est aussi appelé rang de ƒ et est noté rg(ƒ).

Exemples

  • l'endomorphisme appelé homothétie vectorielle de rapport a : f : x \mapsto a\cdot x où a est un scalaire ;
  • l’application dérivation, de l'espace des applications dérivables de R dans R vers l'espace de toutes les applications de R dans R :
    d : \mathcal D(\R,\R)\to\mathcal F(\R,\R),\qquad h\quad\mapsto\quad h'

Propriétés

  • L'ensemble L(E,F) des applications linéaires de E dans F est un espace vectoriel.
Démonstration

En effet, L(E, F) est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des applications de E dans F. Il est non vide car contient l'application nulle. Si a et b sont deux applications linéaires, leur somme est toujours linéaire. On remarque enfin que si λ est un élément de K, l'application λa est aussi linéaire.

  • La composée de deux applications linéaires est linéaire. Plus précisément :
\forall f\in L(E,F),\ \forall g\in L(F,G),\quad g\circ f\in L(E,G).
  • Une application linéaire f de L(E,F) est entièrement déterminée par l'image par f d'une base de E. Plus précisément : pour toute base (e_i)_{i\in I} de E et toute famille (f_i)_{i\in I} de vecteurs de F (indexée par le même ensemble I ), il existe une unique application linéaire f de E dans F telle que pour tout indice i, f(ei) = fi.
Démonstration
Unicité.

Soit f une telle application. Pour tout vecteur x de E, si (x_i)_{i\in I} désigne la famille presque nulle de ses coordonnées dans la base (e_i)_{i\in I}, on a (par linéarité de f) :

f(x)=f(\sum_{i\in I}x_ie_i)=\sum_{i\in I}x_if(e_i)=\sum_{i\in I}x_if_i,

ce qui détermine complètement f.

Existence.

Soit f:E\to F définie en chaque vecteur x de E par la formule ci-dessus. Pour tout indice i, en appliquant cette formule à x = ei, on trouve bien f(ei) = fi. D'autre part, f est bien linéaire car pour tous vecteurs x,y de E, de coordonnées (x_i)_{i\in I}, (y_i)_{i\in I} dans (e_i)_{i\in I}, et pour tous scalaires λ,μ, la définition de f donne :

f(\lambda x+\mu y)=f\left(\lambda\sum_{i\in I}x_ie_i+\mu\sum_{i\in I}y_ie_i\right)=f\left(\sum_{i\in I}(\lambda x_i+\mu y_i)e_i\right)=\sum_{i\in I}(\lambda x_i+\mu y_i)f_i=\lambda\left(\sum_{i\in I}x_if_i\right)+\mu\left(\sum_{i\in I}y_if_i\right)=\lambda f(x)+\mu f(y).
\dim(L(E,F))=\dim(E)\times\dim(F).
Démonstration

On utilise l'application fournie par la proposition précédente (à toute famille (f_i)_{i\in I} de vecteurs de F on associe l'unique application linéaire qui envoie les ei sur les fi) et on vérifie que l'application de FI dans L(E,F) ainsi définie est un isomorphisme. Si dim(E) = Card(I) = n et dim(F) = m, on en déduit (en notant K le corps des scalaires) :

\dim(L(E,F))=\dim(F^I)=\dim\left((K^m)^n\right)=\dim(K^{mn})=mn.
  • Le calcul de l'image d'un vecteur par une application linéaire à l'aide de l'utilisation d'une base utilise le concept de matrice.

Articles connexes

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Opérateur borné entre espaces vectoriels normés

v · d · m
Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité Mathématiques
Sous-espace Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
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Développements Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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