Image Directe

Image Directe

Image directe

L'image directe d'un sous-ensemble A de X par une application f:X\rightarrow Y est le sous-ensemble de Y formé des éléments qui ont au moins un antécédent par f d'un élément de A :

f(A) = \{f(x) / x \in A\},
ou f(A) = \{y \in Y / \exists a \in A, y=f(a)\}.

Si A=X, alors f(X) est appelée l'image de (l'application) f.

On se gardera bien de confondre l'image directe par f d'une partie de X, avec l'image par f d'un élément x de X.

Exemple : Considérons l'application f:\{1, 2, 3\}\rightarrow \{a, b, c, d\}, définie par

1\mapsto a, \quad 2\mapsto c, \quad 3\mapsto d

L'image directe de {2,3} par f est f({2,3})={c,d} tandis que l'image de f est {a,c,d}.

Propriétés élémentaires

  • Pour toutes parties A1 et A2 de X,
f\left(A_1 \cup A_2\right) = f(A_1) \cup f(A_2)
f\left(A_1 \cap A_2\right) \subset f(A_1) \cap f(A_2)

L'inclusion dans l'autre sens est fausse en général. Considérons l'unique application f:\{0,1\}\rightarrow \{0\}. L'image par f de toute partie non vide est le singleton {0}.

\left[ \forall A_1 \subset X, \forall A_2 \subset X, f\left(A_1 \cap A_2\right) = f(A_1) \cap f(A_2)\right] \Leftrightarrow f\ {\rm injective}.
  • pour toute partie B de Y, f(f^{-1}(B)) \subset B.
\forall B \subset Y, f(f^{-1}(B)) = B \Leftrightarrow f \ {\rm surjective}.
  • pour toute partie A de X, A\subset f^{-1}(f(A))
\forall A \subset X, A = f^{-1}(f(A)) \Leftrightarrow f \ {\rm injective}.
  • Pour toute famille \left(A_i\right)_{i\in I} de parties de X,
f\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\subset \bigcap_{i\in I}f(A_i)
  • Pour toute famille \left(A_i\right)_{i\in I} de parties de X,
f\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)= \bigcup_{i\in I}f(A_i)

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
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