Matrice triangulaire supérieure

Matrice triangulaire supérieure

Matrice triangulaire

En algèbre linéaire, les matrices triangulaires sont des matrices carrées dont une partie triangulaire des valeurs, délimitée par la diagonale principale, est nulle.

Sommaire

Matrices triangulaires supérieures

Ce sont des matrices carrées dont les valeurs sous la diagonale principale sont nulles :

A = (a_{i,j}) = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & \cdots & a_{1,n}\\ 0 & a_{2,2} & & & a_{2,n}\\ \vdots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{n,n}\\ \end{pmatrix}

A est triangulaire supérieure si et seulement si :

\forall i>j,\quad a_{i,j}=0

Matrices triangulaires inférieures

Ce sont les matrices carrées dont les valeurs au-dessus de la diagonale principale sont nulles :

A = (a_{i,j}) = \begin{pmatrix} a_{1,1} & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & & & \ddots & 0\\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & \cdots & a_{n,n}\\ \end{pmatrix}

A est triangulaire inférieure si et seulement si :

\forall i<j,\quad a_{i,j}=0

Propriétés des matrices triangulaires

  • Une matrice triangulaire à la fois inférieure et supérieure est une matrice diagonale.
  • Le produit de deux matrices triangulaires inférieures (respectivement supérieures) est une matrice triangulaire inférieure (respectivement supérieure).
  • La transposée d'une matrice triangulaire supérieure est une triangulaire inférieure, et vice-versa.
  • Une matrice triangulaire A est inversible si et seulement si tous ses termes diagonaux sont non nuls. Dans ce cas, son inverse est aussi une matrice triangulaire (supérieure si A était supérieure, inférieure sinon).
  • Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses termes diagonaux.
  • Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit de ses éléments diagonaux :
\det\left((a_{i,j})_{(i,j)\in[\![1;n]\!]^2}\right) = \prod_{i=1}^n a_{i,i}

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Matrice triangulaire#Matrices triangulaires sup.C3.A9rieures ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Matrice triangulaire supérieure de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Matrice Triangulaire — En algèbre linéaire, les matrices triangulaires sont des matrices carrées dont une partie triangulaire des valeurs, délimitée par la diagonale principale, est nulle. Sommaire 1 Matrices triangulaires supérieures 2 Matrices triangulaires… …   Wikipédia en Français

  • Matrice triangulaire inférieure — Matrice triangulaire En algèbre linéaire, les matrices triangulaires sont des matrices carrées dont une partie triangulaire des valeurs, délimitée par la diagonale principale, est nulle. Sommaire 1 Matrices triangulaires supérieures 2 Matrices… …   Wikipédia en Français

  • Matrice triangulaire — En algèbre linéaire, les matrices triangulaires sont des matrices carrées dont une partie triangulaire des valeurs, délimitée par la diagonale principale, est nulle. Sommaire 1 Matrices triangulaires supérieures 2 Matrices triangulaires… …   Wikipédia en Français

  • Matrice triangularisable — Matrice triangulaire En algèbre linéaire, les matrices triangulaires sont des matrices carrées dont une partie triangulaire des valeurs, délimitée par la diagonale principale, est nulle. Sommaire 1 Matrices triangulaires supérieures 2 Matrices… …   Wikipédia en Français

  • Matrice trigonalisable — Trigonalisation En algèbre linéaire, trigonaliser une matrice consiste à réduire celle ci sous la forme d une matrice triangulaire supérieure, ou inférieure. Ceci n est possible que sous certaines conditions. Dans la suite, on se donne un entier… …   Wikipédia en Français

  • Matrice de Hessenberg — En algèbre linéaire, une matrice de Hessenberg est une matrice qui est « presque » triangulaire. Pour être exact, tous les éléments d une matrice de Hessenberg supérieure qui se trouvent en dessous de la première sous diagonale (ie… …   Wikipédia en Français

  • triangulaire — [ trijɑ̃gylɛr ] adj. • 1361; lat. triangularis 1 ♦ En forme de triangle. Faces triangulaires d une pyramide. Base, section triangulaire. Voile triangulaire. « une figure presque triangulaire commencée par un large front » (Balzac). 2 ♦ Dont la… …   Encyclopédie Universelle

  • Matrice définie positive — En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle de nombre réel strictement positif : une matrice définie positive est une matrice positive inversible (la réciproque est fausse). On introduit tout d abord les… …   Wikipédia en Français

  • Matrice tridiagonale — En mathématiques, en algèbre linéaire, une matrice tridiagonale est une matrice dont tous les coefficients qui ne sont ni sur la diagonale principale, ni sur la diagonale juste au dessus, ni sur la diagonale juste en dessous, sont nuls. Par… …   Wikipédia en Français

  • Reduction de matrice — Réduction de matrice Sommaire 1 Rappels 1.1 Endomorphisme et représentation matricielle 1.2 Matrices et endomorphismes 2 Diagonalisation …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”