Matrice d'inertie

Matrice d'inertie

La matrice d'inertie est un outil mathématique utilisé pour décrire les efforts d'inertie appliqués à un solide.

Sommaire

Notation

Cette matrice s'écrit :

\begin{bmatrix} I _a(S) \end{bmatrix} _R = \begin{bmatrix} A & -F & -E \\ -F & B & -D \\ -E & -D & C \end{bmatrix} _R .

avec a point quelconque du solide (S), R repère orthonormé direct, A,B,C moments d'inertie par rapport à \vec x, \vec y, \vec z vecteurs unitaires de R et D,E,F produits d'inertie.

Calcul des coefficients de la matrice

A,B et C sont des moments d'inertie par rapport à un axe (respectivement \vec x, \vec y, \vec z).

A = \int _{(S)} (y^2 + z^2) \,\mathrm dm
B = \int _{(S)} (x^2 + z^2) \,\mathrm dm
C = \int _{(S)} (x^2 + y^2) \,\mathrm dm

E,D et F sont des produits d'inertie, ils modélisent une asymétrie géométrique ou massique (solide non homogène) par rapport aux plans (\vec y, \vec z ) , ( \vec x, \vec z ) , ( \vec x, \vec y ).

D = \int _{(S)} (yz) \,\mathrm dm
E = \int _{(S)} (xz) \,\mathrm dm
F = \int _{(S)} (xy) \,\mathrm dm

Remarque : En mécanique, l'unité la plus fréquemment utilisée est le kg.m²

Simplification et transport

Pour simplifier l'écriture de la matrice d'inertie, on choisit de l'écrire en G, centre d'inertie du solide (S). De plus, on choisit un repère compatible avec les plans de symétrie de (S), s'ils existent.

Exemple d'un arbre de matériau homogène de longueur L, de rayon R, de masse M et avec pour axe principal \vec x .

\begin{bmatrix} I _G(S) \end{bmatrix} _R = \begin{bmatrix} \frac{MR^2}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{MR^2}{4}+\frac{ML^2}{12} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{MR^2}{4}+\frac{ML^2}{12} \end{bmatrix} _R .

Nota : même si le solide ne présente pas de plans de symétrie, les propriétés mathématiques de la matrice d'inertie (matrice symétrique, somme des termes diagonaux strictement positive - sauf si le solide est réduit à un point !) sont telles qu'il existe toujours un repère (en fait six par permutation circulaire et changement de signes, en se limitant aux repères directs) dans lequel la matrice ne comporte que des termes diagonaux. Un tel repère s'appelle "repère propre d'inertie" , les axes du repère sont appelés "axes d'inertie principaux", et les trois moments d'inertie correspondants "moments d'inertie principaux".

Pour écrire une matrice d'inertie en un autre point on applique le théorème de Huygens.

Exemple de transport de matrice d'inertie.

Soit

\begin{bmatrix} I _G(S) \end{bmatrix} _R = \begin{bmatrix} A & -F & -E \\ -F & B & -D \\ -E & -D & C \end{bmatrix} _R et \vec {AG} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}_R

on aura

\begin{bmatrix} I _A(S) \end{bmatrix} _R = \begin{bmatrix} A + M (b^2+c^2) & -F-Mab & -E-Mac \\ -F-Mab & B + M(c^2+a^2) & -D-Mbc \\ -E-Mac & -D-Mbc & C+M(a^2+b^2) \end{bmatrix} _R

Changement de base d'une matrice d'inertie

Pour écrire une matrice d'inertie définie dans une base R dans une autre base S on utilise :

\begin{bmatrix} I _a(S) \end{bmatrix} _S =\begin{bmatrix} P^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I _a(S) \end{bmatrix} _R\begin{bmatrix} P \end{bmatrix} ,

où P est la matrice de passage de la base R à la base S (voir plus généralement la formule de changement de base)


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Matrice d'inertie de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Matrice D'inertie — La matrice d inertie est un outil mathématique utilisé pour décrire les efforts d inertie appliqués à un solide. Notation Cette matrice s écrit : . avec a point quelconque du solide (S), R repère orthonormé direct, A,B,C moments d inertie… …   Wikipédia en Français

  • Matrice (algèbre) — Matrice (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Matrice. En mathématiques, les matrices servent à interpréter en termes calculatoire …   Wikipédia en Français

  • Matrice (mathematiques) — Matrice (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Matrice. En mathématiques, les matrices servent à interpréter en termes calculatoire …   Wikipédia en Français

  • Matrice carrée — Matrice (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Matrice. En mathématiques, les matrices servent à interpréter en termes calculatoire …   Wikipédia en Français

  • Matrice Diagonalisable — En algèbre linéaire, une matrice carrée M d ordre n ( ) à coefficients dans un corps commutatif K, est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c est à dire s il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D …   Wikipédia en Français

  • Matrice Définie Positive — En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle de nombre réel strictement positif. On introduit tout d abord les notations suivantes ; si a est une matrice à éléments réels ou complexes : aT désigne la… …   Wikipédia en Français

  • Matrice Inversible — En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière, s il existe une matrice B d ordre n telle que AB = BA = In, ( AB = In suffit d aprés le… …   Wikipédia en Français

  • Matrice definie positive — Matrice définie positive En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle de nombre réel strictement positif. On introduit tout d abord les notations suivantes ; si a est une matrice à éléments réels ou… …   Wikipédia en Français

  • Matrice inverse — Matrice inversible En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière, s il existe une matrice B d ordre n telle que AB = BA = In, ( AB = In… …   Wikipédia en Français

  • Matrice non singulière — Matrice inversible En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière, s il existe une matrice B d ordre n telle que AB = BA = In, ( AB = In… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”