- Intégrale de Gauss
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En mathématiques, une intégrale de Gauss est l'intégrale d'une fonction gaussienne sur l'ensemble des réels. Sa valeur est reliée à la constante π par la formule
où α est un paramètre réel strictement positif. Elle intervient dans la définition de la loi de probabilité appelée loi gaussienne, ou loi normale.
Cette formule peut être obtenue grâce à une intégrale double et un changement de variable polaire. Sa première démonstration connue est donnée par Pierre-Simon de Laplace.
Ainsi on a par exemple, avec les notations classiques :
- .
Si l'on travaille à n dimensions, la formule se généralise sous la forme suivante :
- .
Sommaire
Intégrabilité de la fonction
Comme l'intégrande est pair, il suffit, pour montrer qu'il est intégrable sur , de prouver qu'il est intégrable sur . Cela résulte de ce qu'il est positif, continu, et négligeable à l'infini devant la fonction , intégrable par exemple sur .
Calcul de l'intégrale de Gauss
L'intégrande de l'intégrale de Gauss n'admet aucune primitive s'exprimant à l'aide des fonctions usuelles (exponentielle, etc.). Ceci oblige pour calculer cette intégrale à recourir à des méthodes plus ou moins « détournées », dont la plus classique et directe est celle qui utilise des intégrales doubles ; d'autres méthodes classiques existent dont une élémentaire, mais nettement plus longue, qui fait appel aux intégrales de Wallis et une autre qui utilise une fonction définie par une intégrale.
Cas particulier α = 1
La méthode classique de calcul utilise une intégrale double qu'on exprime en coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées polaires.
DémonstrationSoient
- et .
Compte tenu de ce que les variables x et y se séparent, le théorème de Fubini donne :
- .
On passe en coordonnées polaires en posant x = rcosθ et y = rsinθ ; les variables r et θ se séparent elles aussi :
- car (par le changement de variable ).
On en déduit :
- , d'où puisque , et enfin : par parité.
Une méthode alternative utilise une fonction définie par une intégrale. Cette seconde méthode n'utilise que des résultats sur les intégrales simples (à une seule variable) usuelles (sur un intervalle fermé borné) et est donc plus élémentaire. Elle est cependant plus technique.
DémonstrationPosons, pour tout réel positif t,
et montrons d'abord que K est dérivable et que sa dérivée est donnée, pour tout réel positif t, par :
Pour tous réels t positif et h, un bref calcul donne :
avec
Or quand h tend vers 0, − h(1 + x2) tend vers 0 uniformément sur [0,1], et quand u tend vers 0, φ(u) tend vers 0. Par intégration sur [0,1] d'une convergence uniforme, on obtient donc la formule annoncée pour la dérivée de K.
On considère maintenant la fonction G définie, pour tout réel t, par
Par dérivation de cette fonction composée puis par le changement de variable u = tx, on obtient, pour tout réel t :
où F est définie sur ℝ par
(Pour une preuve expéditive de ce calcul de la dérivée de G – sans passer par K – voir Intégrale paramétrique#Intégrale de Gauss.)
Ceci prouve que pour tout réel t,
Il ne reste plus qu'à étudier la limite de cette expression lorsque t tend vers +∞.
donc par encadrement,
d'où le résultat recherché :
Quelle que soit la technique utilisée, on a bien démontré que .
Cas général α > 0
En effectuant dans l'intégrale de Gauss le changement de variable défini par , on obtient :
- .
Corollaire
Le réel
(une valeur de la fonction Gamma d'Euler) est égal à .
DémonstrationEn effet, effectuant dans l'intégrale ci-dessus le changement de variable t = x2, où x > 0, on obtient :
- .
Application à la transformée de Fourier d'une fonction gaussienne
Soit la fonction gaussienne
Elle est intégrable sur R. Sa transformée de Fourier
définie par
est telle que
DémonstrationOn remarque d'abord que, par définition :
D'autre part, f est (au moins) de classe C1 et vérifie l'équation différentielle linéaire suivante :
On vérifie (comme supra) que g (donc f' ) est intégrable (sur R). Dès lors (propriétés de la transformation de Fourier relatives à la dérivation):
- Comme f, f' sont intégrables et que f tend vers 0 à l'infini,
- Comme f et g sont intégrables, F est dérivable et
Il résulte alors de l'équation différentielle ci-dessus, par transformation de Fourier, que
ou encore :
Ainsi, F vérifie une équation différentielle linéaire analogue à la précédente ; il existe donc une constante K (réelle ou complexe) telle que
et comme
ceci termine la démonstration.
Liens externes
- M. Abramovitz et I.A. Stegun, Handbook of Mathematical functions, chapitre 26.
Catégories :- Théorème d'analyse
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- Carl Friedrich Gauss
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