Intégrale à paramètres

Intégrale paramétrique

En mathématiques, une intégrale paramétrique (également appelée intégrale à paramètre) est une fonction définie à partir de l'intégration d'une fonction de plusieurs variables sur un ensemble fixe par rapport à une partie des variables seulement. Une classe importante d'exemples est l'ensemble des transformées dont par exemple la transformée de Fourier.

Sommaire

1 Exemples
2 Définition formelle
3 Existence d'une limite
4 Continuité
5 Règle de Leibniz de dérivation sous le signe d'intégration
6 Exemples
7 Théorème de Fubini
- 7.1 Exemple
8 Voir aussi
9 Références

Exemples

Transformée de Fourier

Article détaillé : transformée de Fourier.

Soit f une fonction de $\mathbb R^n$ dans $\mathbb C$ , L-intégrable sur $\mathbb R^n$ , la transformée de Fourier de f est la fonction de $\mathbb R^n$ dans $\mathbb C$ définie par la formule suivante :

$\hat{f}(x) = \int_{\mathbb R^n}\exp[-2i\pi(x|y)]f(y)dy$

où $(\cdot|\cdot)$ désigne le produit scalaire usuel.

Fonction gamma d'Euler

Article détaillé : fonction gamma.

La fonction gamma d'Euler est définie pour chaque $x\in ]0,\infty[$ par la formule suivante :

$\Gamma(x) = \int_0^{+\infty}t^{x-1}\exp(-t)dt$

Potentiel du champ de gravitation

Article détaillé : énergie potentielle gravitationnelle.

Le potentiel du champ de gravitation créé par un corps matériel M de densité variable $ρ$ en un point $x\in \mathbb R^3$ extérieur à M est donné par la formule suivante

$V(x) = -G\int_M {\rho(y)\over ||x-y||_2}dy$

où G désigne la constante de gravitation et $||\cdot||_2$ la norme euclidienne.

Définition formelle

Si $q\ge 1$ et $s\ge 1$ sont des entiers tels que $q + s = n$ , on écrira $\mathbb R^n = \mathbb R^q\times\mathbb R^s$ avec $x = (y, z)$ pour chaque élément $x\in \mathbb R^n$ .

Soit f une fonction de $\mathbb R^n$ dans $\mathbb R^p$ , A une partie de $\mathbb R^q$ et B une partie de $\mathbb R^s$ . Si, $\forall y\in A$ , la fonction $f(y, \cdot)$ de $\mathbb R^s$ dans $\mathbb R^p$ est intégrable sur B, alors l'application F de A dans $\mathbb R^p$ définie par :

F(y) =	∫	f(y,z)dz
	B

est appelée une intégrale paramétrique.

Existence d'une limite

Soit $a\in \mathrm{adh}\,A$ et si les conditions suivantes sont satisfaites :

$\forall y\in A$ , la fonction $f(y, \cdot)$ est intégrable sur B ,
$\lim_{y\to A, y\in A} f(y,z)$ existe pour presque tout $z\in B$ ,
$\exists r > 0$ et des fonctions réelles g et h intégrables sur B telles que $\forall y\in A\cap B_{\infty}[a;r]$ et pour presque tout $z\in B$ , on ait

$g(z)\le f(y,z)\le h(z)$

alors la fonction $\varphi$ définie presque partout sur B par

$\varphi(z) = \lim_{y\to a, y\in A} f(y,z)$

est intégrable sur B et

$\lim_{y\to A, y\in A} F(y) = \int_B \varphi(z) dz$

soit encore :

$\lim_{y\to a, y\in A} \left[\int_B f(y,z) dz\right] = \int_B\left[\lim_{y\to a, y\in A} f(y,z)\right]dz$

Remarque, la notation $B_{\infty}[a;r]$ tient pour la boule fermée de centre a et de rayon r pour la norme infinie.

Démonstration

Soit $(y_k)_{k\in \mathbb N}$ une suite dans $A\cap B_{\infty}[a;r]$ qui converge vers a (par compacité une telle suite existe). La suite $(f(y_k,\cdot))_{k\in\mathbb N}$ de fonctions intégrables sur B converge ponctuellement presque partout sur B vers $\varphi$ et on a par la troisième hypothèse :

$g(z) \le f(y_k, z) \le h(z)$

pour tout $k\in \mathbb N$ et pour presque tout $z\in B$ . Le théorème de convergence majorée et minorée de Lebesgue entraîne alors l'intégrabilité de $\varphi$ sur B et les relations

$\lim_{k\to \infty} F(y_k) = \lim_{k\to \infty}\int_B f(y_k, z)dz = \int_B \varphi(z)dz$

Continuité

Continuité locale : si l'on remplace la deuxième hypothèse du résultat précédent par une hypothèse de continuité de $f(\cdot, z)$ en $a \in A$ pour presque tout $z\in B$ , on déduit du résultat précédent la continuité de F en a.

Continuité globale : par conséquent, si f est continue sur $A\times B$ , que A est ouvert et B est fermé et borné, alors F est continue sur A.

Démonstration

Par hypothèse, $f(y, \cdot)$ est continue sur B, et donc intégrable sur B pour chaque $y\in A$ . Par ailleurs, on a aussi que $f(\cdot, z)$ est continue sur A pour chaque $z\in B$ . Si $a\in A$ , il existe $r > 0$ tel que $B_{\infty}[a;r]$ soit inclue dans A (qui est ouvert) et dès lors, par continuité de f, il existe une constante positive $M$ telle que sur $B_{\infty}[a;r]\times B$ , on ait :

$-M \le f(y,z) \le M$

il suffit donc de prendre $g = - M = - h$ dans la proposition précédente.

Règle de Leibniz de dérivation sous le signe d'intégration

Etude locale

Supposons que $\mathrm{int} \,A \neq \emptyset$ et que les trois conditions suivantes soient satisfaites :

$f(y, \cdot)$ est intégrable sur B pour chaque $y\in A$
Il existe un entier $1 \le i \le q$ , un point $a\in \mathrm{int}\, A$ et un réel $r > 0$ tels que $B_{\infty}[a;r]\subset A$ et tels que $f(\cdot, z)$ possède pour presque tout $z\in B$ une dérivée partielle par rapport à $y i$ en chaque point $y\in B_{\infty}[a;r]$ .
Il existe deux fonctions réelles g et h intégrables sur B telles que, pour tout $y\in B_{\infty}[a;r]$ et presque tout $z\in B$ , on ait :

$g(z) \le {\partial\over \partial y_i} f(y,z) \le h(z)$

Alors, l'intégrale paramétrique F possède en $a$ une dérivée partielle par rapport à $y i$ . Par ailleurs, ${\partial \over \partial y_i} f(a,\cdot)$ est intégrable sur B et :

${\partial\over\partial y_i} F(a) = \int_B {\partial\over\partial y_i} f(a,z) dz$

Soit encore :

${\partial\over\partial y_i}\left[\int_Bf(a,z)dz\right] = \int_B{\partial\over\partial y_i}f(a,z)dz$

Démonstration

Soit $ψ$ la fonction définie sur $([-r, r]\backslash\{0\}) \times B$ par le quotient différentiel

$\psi(h,z) = {f\left(a+h\mathrm{\hat{e}}_{i}, z\right)-f(a,z)\over h}$

où $\mathrm{\hat{e}_i}$ désigne le vecteur de base correspondant à la variable $y i$ . On a que $\psi(h,\cdot)$ est intégrable sur B pour chaque $h\in [-r, r]\backslash\{0\}$ et on a :

$\lim_{h\to 0}\psi(h,z) = {\partial\over\partial y_i}f(a,z)$

pour presque tout $z\in B$ . En outre, en appliquant le théorème des accroissements finis, on a pour chaque $h$ , un $h'$ tel que :

$f\left(a+h\mathrm{\hat{e}}_{i}, z\right)-f(a,z) = h{\partial\over\partial y_i}f(a+h'\mathrm{\hat{e}}_{i}, z)$

avec $0 < | h' | < | h |$ . On a donc :

$\psi(h, z) = {\partial\over\partial y_i} f(a+h'\mathrm{\hat{e}}_{i}, z)$

soit encore en utilisant la troisième hypothèse :

$g(z) \le \psi(h,z) \le h(z)$

par conséquent en utilisant la proposition relative à la limite d'une intégrale paramétrique, on a que ${\partial\over\partial y_i}f(a,\cdot)$ est intégrable sur B et :

$\lim_{h\to 0} \int_B \psi(h,z) dz = \int_B {\partial \over \partial y_i} f(a, z) dz$

or on a que :

$\lim_{h\to 0} \int_B \psi(h,z) dz = \lim_{h\to 0} {1\over h}\int_B \left[f(a+h\mathrm{\hat{e}}_{i}, z) - f(a,z)\right]dz$

ce qui est égal à :

$\lim_{h\to 0} {F(a+h\mathrm{\hat{e}}_{i})-F(a)\over h} = {\partial \over \partial y_i} F(a)$

Par conséquent, ${\partial \over \partial y_i}F(a)$ existe et vaut $\int_B {\partial \over \partial y_i} f(a, z) dz$ .

Etude globale

Si A est ouvert, B est fermé borné et s'il existe $1\le i\le q$ tel que, pour chaque $(y,z)\in A\times B$ , f possède une dérivée partielle par rapport à $y i$ et si ${\partial\over\partial y_i }f$ est une fonction continue sur $A \times B$ , alors F possède en chaque point $y\in A$ une dérivée partielle par rapport à $y i$ , la fonction ${\partial \over \partial y_i}F$ est continue sur A et, pour tout $y\in A$ , on a :

${\partial\over\partial y_i}F(y) = \int_B {\partial \over \partial y_i}f(y,z) dz$

Démonstration

Soit $a\in A$ , il existe $r > 0$ tel que $B_\infty[a; r]\subset A$ . Pour chaque $y \in B_\infty[a;r]\times B$ , la fonction ${\partial\over\partial y_i}f(y,\cdot)$ est continue, et donc intégrable, sur B et, par continuité, il existe une constante positive M telle que sur $B_\infty[a;r]\times B$ on ait :

$-M\le {\partial\over\partial y_i}f(y,z) \le M$

les trois conditions de la règle de Leibniz locale sont donc satisfaites et on peut l'appliquer partout. La continuité de ${\partial\over\partial y_i}F$ est déduite de la proposition sur la continuité globale d'une intégrale paramétrique.

Forme générale unidimensionnelle

Le résultat suivant peut être vu comme une généralisation du théorème fondamental de l'analyse et peut s'avérer utile dans le calcul de certaines intégrales réelles.

Soit f une fonction continue de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R$ et possédant une dérivée partielle continue sur $\mathbb R$ par rapport à la première variable. Soient a et b deux fonctions dérivables de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ , si F est l'intégrale paramétrique définie par :

$F(y) = \int_{a(y)}^{b(y)}f(y,z)dz$

on montre que F est dérivable sur tout $\mathbb R$ et que

$F'(y) = f(y, b(y))b'(y) - f(y,a(y))a'(y) + \int_{a(y)}^{b(y)}{\partial\over \partial y}f(y,z)dz$

Remarque : on retrouve bien le théorème fondamental de l'analyse en posant $a (y) = a$ et $b (y) = b$ .

Démonstration

Soit H l'application de $\mathbb R^3$ dans $\mathbb R$ définie par :

$H(u,v,y) = \int_u^v f(y,z)dz$

et qui est donc telle que $F (y) = H (a (y), b (y), y)$ . Le théorème de dérivation des fonctions composées nous donne que :

$F'(y) = {\partial H\over\partial a}{\partial a\over\partial y} + {\partial H\over \partial b}{\partial b\over\partial y} + {\partial H\over\partial y}$

du théorème fondamental de l'analyse, on a que :

${\partial H\over\partial a} = {\partial\over\partial a}\int_{a(y)}^{b(y)}f(y,z)dz = -f(y, a(y))$

${\partial H\over \partial b} = {\partial\over\partial b}\int_{a(y)}^{b(y)}f(y,z)dz = f(y, b(y))$

finalement, en appliquant la règle de Leibniz pour le dernier terme, on a :

${\partial H\over\partial y} = {\partial\over\partial y}\int_{a(y)}^{b(y)} f(y, z) dz = \int_{a(y)}^{b(y)}{\partial\over\partial y}f(y,z)dz$

en mettant ensemble les trois dernières relations on retrouve l'identité.

Exemples

Calcul d'intégrale 1

Voici une des nombreuses applications possibles de la forme générale unidimensionnelle avec des bornes constantes. On considère l'intégrale de Gauss avec $a > 0$ :

$I = \int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-ax^2) = \sqrt{{\pi\over a}}$

on peut en déduire, en appliquant l'identité que :

$\int_{-\infty}^{+\infty} x^2\exp(-ax^2)dx = \frac12\sqrt{{\pi\over a^3}}$

Démonstration

Comme les bornes sont des constantes, l'identité devient :

${\partial\over \partial a}I = \int_{-\infty}^{+\infty}{\partial\over\partial a}\exp(-ax^2) = \int_{-\infty}^{+\infty}-x^2\exp(-ax^2)$

de l'autre côté on a :

${d\over da} \sqrt{{\pi\over a}} = -\frac12 \sqrt{{\pi\over a^3}}$

en assemblant les deux derniers résultats, on retrouve la formule indiquée.

Remarque, on peut étendre le résultat à toute intégrale ayant pour intégrande $x 2 n exp( - a x 2)$ . (Les exposants impairs donnant systématiquement des intégrales nulles par parité).

Calcul d'intégrale 2

Soit l'intégrale suivante :

$I = \int_0^{+\infty}{\exp(-ax)-\exp(-bx)\over x}dx$

on peut vérifier en utilisant la règle de Leibniz que :

$I = \ln{b\over a}$

Démonstration

Soit F et g définies par :

$F(b) = \int_0^{+\infty}{\exp(-ax)-\exp(-bx)\over x}dx,\quad g(b) = \ln{b\over a}$

on a clairement : $F (a) = g (a) = 0$ . Il suffit donc de montrer que leurs dérivées sont égales pour tout $b > 0$ pour vérifier l'identité.

On a en effet que :

$g'(b) = {1\over b}$

en appliquant la règle de Leibniz pour F, on a :

$F'(b) = \int_0^{+\infty}{\partial\over\partial b}{\exp(-ax)-\exp(-bx)\over x}dx = \int_0^{+\infty}\exp(-bx)dx$

ce qui est évidemment égal à ${1\over b}$ .

Intégrale de Gauss

Article détaillé : Intégrale de Gauss.

L'intégrale de Gauss joue un rôle important en analyse et en calcul des probabilités, elle est définie par :

$I = \int_0^{+\infty}\exp(-x^2)dx = {\sqrt{\pi}\over 2}$

puisque la fonction est paire, on peut étendre le résultat à l'intégrale sur tout l'axe réel en doublant I. Ce résultat peut s'obtenir de plusieurs façons dont une utilisant la notion d'intégrale paramétrique.

Démonstration

L'intégrale existe puisque l'intégrand est continu et tel que, pour tout $x \ge 1$ , on a :

$\exp(-x^2) \le \exp(-x)$

le second membre étant évidemment intégrable sur tout l'axe réel. Considérons les deux fonctions définies par :

$F(y) = \left(\int_0^y \exp(-z^2)dz\right)^2 \quad$ et $\quad G(y) = \int_0^1{\exp[-y^2(z^2+1)]\over z^2+1}dz$

elles sont toutes deux définies et continues pour tout $y\ge 0$ et,

$F(0) = 0, \quad G(0) = \int_0^1 {dz\over z^2+1} = \mathrm{arctg}(1) = {\pi\over 4}$

Par ailleurs, par les propriétés de dérivabilité d'une intégrale indéfinie (F) et par la règle de Leibniz pour G, on a :

$F'(y) = 2\int_0^y\exp[-(y^2+z^2)]dz\quad$ et $\quad G'(y) = -2\int_0^y y\exp[-y^2(z^2+1)]dz$

pour $y > 0$ et en posant $t = z y$ , on trouve que :

$G'(y) = -2\int_0^y\exp[-(y^2+t^2)]dt = -F'(y)$

par conséquent, la fonction $F + G$ est constante sur $]0, +\infty[$ et comme elle est continue à l'origine, on aura, $\forall y\ge 0$ ,

$F(y)+G(y) = F(0)+G(0) = {\pi\over 4}$

En prenant la limite à l'infini, on a :

$L = \lim_{y\to \infty}[F(y)+G(y)]={\pi\over 4}$

Or cette limite vaut :

$L = \left(\int_0^\infty \exp(-z^2)dz \right)^2 + \lim_{y\to\infty} \int_0^1{\exp[-y^2(z^2+1)]\over z^2+1}dz$

en appliquant la proposition sur l'existence d'une limite, on a :

$L = \left(\int_0^\infty \exp(-z^2)dz \right)^2 + \int_0^1\lim_{y\to\infty} {\exp[-y^2(z^2+1)]\over z^2+1}dz$

le deuxième terme disparaissant à l'infini, on a finalement $I = \sqrt{L} = {\sqrt{\pi}\over 2}$ ainsi que prévu.

Théorème de Fubini

Article détaillé : Théorème de Fubini.

A l'instar de la règle de Leibniz, le théorème de Fubini tient pour l'intégrabilité d'une intégrale paramétrique dont voici une version pour le cas de l'intégrabilité au sens de Riemann.

Soit A un pavé fermé de $\mathbb R^q$ , B un pavé fermé de $\mathbb R^s$ avec $q, s\ge 1$ . Soit encore f une fonction bornée définie sur $A\times B$ .

Si f est intégrable au sens de Riemann sur $A\times B$ , alors,

La fonction $f(y,\cdot)$ est intégrable au sens de Riemann sur B pour presque tous les y de A et l'intégrale paramétrique $F 1$ définie par

F₁(y) =	∫	f(y,z)dz
	B

est intégrable sur A et on a : $\int_{A\times B} f = \int_A F_1$ .

La fonction $f(\cdot, z)$ est intégrable au sens de Riemann sur A pour presque tout les z de B et l'intégrale paramétrique $F 2$ définie par

F₂(z) =	∫	f(y,z)dy
	A

est intégrable sur B et on a : $\int_{A\times B}f = \int_B F_2$

Si f est continue, les fonctions $f(y, \cdot)$ et $f(\cdot, z)$ le sont aussi et le théorème de Fubini permet d'écrire :

$\int_{A\times B}f = \int_A\left(\int_B f(y,z)dz\right)dy = \int_B\left(\int_A f(y,z)dy\right)dz$

Exemple

Soit $A = [0,2]$ , $B = [1,3]$ et f définie sur $A\times B$ par $f (x, y) = x 2 + y$ . Elle est intégrable sur $A\times B$ puisqu'elle est continue et on a :

$\int_{A\times B}f = \int_0^2\left(\int_1^3(x^2+y)dy\right)dx = \int_0^2 (2x^2+4)dx = {40\over 3}$

$\int_{A\times B}f = \int_1^3\left(\int_0^2 (x^2+y)dx\right)dy = \int_1^3\left({8\over 3}+2y\right)dy = {40\over 3}$

Voir aussi

Références

Jean MAWHIN, Analyse, fondements, techniques, évolution, 2^e édition, De Boeck Université, (ISBN 978-2804124892)
Camille DEBIEVE, Intégrales multiples, notes de cours disponible en ligne.
Article Differentiation under the integral sign de Planet Math, lien

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Catégorie : Analyse

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