Integrale de Fresnel

Integrale de Fresnel: Intégrale de Fresnel

Pour les articles homonymes, voir Fresnel.

L'intégrale de Fresnel est une intégrale impropre introduite par le physicien français Augustin Fresnel.

Formule de Fresnel
$\int_{0}^{+\infty} \cos(x^2)\;\mathrm{d}x = \int_{0}^{+\infty} \sin(x^2)\;\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}$
On en déduit l'intégrale de Fresnel complexe :
$\int_{0}^{+\infty} e^{\pm i x^2} \mathrm{d}x = \int_{0}^{+\infty} \cos(x^2)\mathrm{d}x \pm i \int_{0}^{+\infty} \sin(x^2)\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}( 1 \pm i ) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{\pm i\frac{\pi}{4}}$
Calcul de l'intégrale de Fresnel

Considérons pour tout réel $t$ la fonction de ℝ⁺ dans ℂ définie par
$u\mapsto {\mathrm{e}^{-(u^2+i)\,t^2}\over u^2+i}$ .
Cette fonction est intégrable puisqu'étant continue sur ℝ⁺ et, avec $Re( - (u 2 + i)) < 0$ , négligeable au voisinage de +∞ devant $u\mapsto\displaystyle\tfrac{1}{u^2}$ .

Il est donc possible de poser $f$ , la fonction définie pour tout $t$ par l'intégrale à paramètre suivante :
$f(t)=\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-(u^2+i)\,t^2}}{u^2+i}\,\mathrm{d}u$
On montre que f est de classe $C 1$ sur $ℝ +*$ et que

$\forall t\in\R^{+*},\,f'(t)=-2t\mathrm{e}^{-it^2}\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-u^2\,t^2}\mathrm{d}u$

Démonstration

Pour tout $t > 0$ , la fonction $\R^+\rightarrow\mathbb C,\ u\mapsto {\mathrm{e}^{-(u^2+i)\,t^2}\over u^2+i}$ est continue par morceaux et intégrable.

Pour tout {{u ∈ ℝ⁺}}, la fonction $\R^{+*}\rightarrow\mathbb C,\ t\mapsto {\mathrm{e}^{-(u^2+i)\,t^2}\over u^2+i}$ est dérivable et de dérivée $f'(t) = - 2 t exp( - (u 2 + i) t 2)$

Pour tout {{u ∈ ℝ⁺}}, la fonction $\R^{+*}\rightarrow\mathbb C,\ t\mapsto {-2\,t}\mathrm{e}^{-(u^2+i)\,t^2}$ est continue par morceaux et intégrable

Pour tout {{t ∈ ℝ^+*}}, la fonction $\R^{+*}\rightarrow\mathbb C,\ u\mapsto {-2\,t}\exp {[-(u^2+i)\,t^2]}$ est continue

Condition de domination : confinons le paramètre $u$ au compact {{[a,b] ⊂ ℝ^+*}} (donc $a > 0$ ). Exhibons $\varphi$ , une fonction continue par morceaux et intégrable sur ℝ⁺ vérifiant $\forall (t,u)\in\R^{+*}\times\R,\,\left|{-2\,t}\mathrm{e}^{-(u^2+i)\,t^2}\right|\le \varphi(t)$ . $\varphi(t)= 2\,t\mathrm{e}^{-(a^2+i)\,t^2}$ convient.

Conclusion : f est de classe $C 1$ sur {{math|ℝ^+*}} et
$\forall t\in\R^{+*},\,f'(t)=-2t\mathrm{e}^{-it^2}\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-u^2\,t^2}\mathrm{d}u$

En opérant un changement de variable linéaire par la fonction $ℝ + \to ℝ +, u \mapsto u\cdott = v$ , on aboutit immédiatement à, pour tout $t \in ℝ +*$ :
$f'(t)=-2\mathrm{e}^{-it^2}\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-v^2}\,\mathrm{d}v$
L'intégrale définie est ici bien connue (voir l'article sur l'intégrale de Gauss) et vaut $\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ . Ainsi, on a une expression plus simple de la dérivée de $f$ : $f'(t)=-\sqrt{\pi}\mathrm{e}^{-it^2}$ .

L'application du théorème de convergence dominée permet de montrer que $\textstyle\lim_{t\to+\infty}f(t)=0$ Considérons la suite de fonctions $(f n)$ définie par :
$\forall n\in\N,\,f_n:\R^+\rightarrow\mathbb C,\ u\mapsto {\mathrm{e}^{-(u^2+i)\,\lambda_n^2}\over u^2+i}$
où $(λ n)$ est une suite réelle croissante de limite +∞. Montrons que
$\lim_{n\rightarrow +\infty}\int_{0}^{+\infty}f_n(u)\,\mathrm{d}u=0$
c'est-à-dire que, d'après la caractérisation séquentielle des limites :
$\lim_{t\rightarrow +\infty}f(t)=0$ .
Nous savons d'ores et déjà que $(f n)$ converge simplement vers
$g:\R^+\rightarrow\mathbb C,\ u\mapsto 0$ .
Par conséquent, de l'expression de $f'$ , on déduit en intégrant sur ℝ⁺ (fonctions intégrables) :
$\sqrt{\pi}\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-it^2}\,\mathrm{d}t = f(0)$
D'autre part,
$f(0)=\int_0^{+\infty}{1\over u^2+i}\,\mathrm{d}u$ .
On se sert alors d'une intégrale classique :
$\int_0^{+\infty}{1\over u^4+1}\,\mathrm{d}u=\int_0^{+\infty}{u^2\over u^4+1}\,\mathrm{d}u$
et de l'expression $\tfrac1{u^2+i}$ sous la forme $\tfrac{u^2-i}{u^4+1}$ pour en déduire que
$\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-it^2}\,\mathrm{d}t = {\sqrt{2\pi}\over 4}\,(1-i)$ .
Il reste à prendre la partie réelle (respectivement la partie imaginaire) pour conclure que :
$\Re \mathfrak{e}\left(\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-it^2}\,\mathrm{d}t\right) = \int_{0}^{+\infty}\cos(-x^2)\,\mathrm{d}x=\Re \mathfrak{e}\left({\sqrt{2\pi}\over 4}\,(1-i) \right)= {\sqrt{2\pi}\over 4} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}$
(respectivement que
$\Im \mathfrak{m}\left(\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-it^2}\,\mathrm{d}t\right) = \int_{0}^{+\infty}\sin(-x^2)\,\mathrm{d}x=-\int_{0}^{+\infty}\sin(x^2)\,\mathrm{d}x$ $=\Im \mathfrak{m}\left({\sqrt{2\pi}\over 4}\,(1-i) \right)= -{\sqrt{2\pi}\over 4} = -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}$
).

Autre calcul possible

Il est aussi possible d'intégrer $f (z) = exp( - z 2)$ sur les bornes du triangle $T R$ de sommets $0, ~R, ~(1+i)~ R$ puis de faire tendre R vers l'infini.

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Catégorie : Intégrale

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