- Integrale de Fresnel
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Intégrale de Fresnel
L'intégrale de Fresnel est une intégrale impropre introduite par le physicien français Augustin Fresnel.
Formule de Fresnel
On en déduit l'intégrale de Fresnel complexe :
Calcul de l'intégrale de Fresnel
Considérons pour tout réel t la fonction de ℝ+ dans ℂ définie par
. Cette fonction est intégrable puisqu'étant continue sur ℝ+ et, avec Re( − (u2 + i)) < 0, négligeable au voisinage de +∞ devant .
Il est donc possible de poser f, la fonction définie pour tout t par l'intégrale à paramètre suivante :
On montre que f est de classe C1 sur ℝ+* et que
Démonstration- Pour tout t > 0, la fonction
est continue par morceaux et intégrable. - Pour tout {{u ∈ ℝ+}}, la fonction
est dérivable et de dérivée f'(t) = − 2texp( − (u2 + i)t2) - Pour tout {{u ∈ ℝ+}}, la fonction
est continue par morceaux et intégrable - Pour tout {{t ∈ ℝ+*}}, la fonction
est continue - Condition de domination : confinons le paramètre u au compact {{[a,b] ⊂ ℝ+*}} (donc a > 0). Exhibons , une fonction continue par morceaux et intégrable sur ℝ+ vérifiant
. convient.
Conclusion : f est de classe C1 sur {{math|ℝ+*}} et
En opérant un changement de variable linéaire par la fonction ℝ+ → ℝ+, u ↦ u·t = v, on aboutit immédiatement à, pour tout t ∈ ℝ+* :
L'intégrale définie est ici bien connue (voir l'article sur l'intégrale de Gauss) et vaut . Ainsi, on a une expression plus simple de la dérivée de f : .
L'application du théorème de convergence dominée permet de montrer que Considérons la suite de fonctions (fn) définie par :
où (λn) est une suite réelle croissante de limite +∞. Montrons que
c'est-à-dire que, d'après la caractérisation séquentielle des limites :
. Nous savons d'ores et déjà que (fn) converge simplement vers
. Par conséquent, de l'expression de f', on déduit en intégrant sur ℝ+ (fonctions intégrables) :
D'autre part,
. On se sert alors d'une intégrale classique :
et de l'expression sous la forme pour en déduire que
. Il reste à prendre la partie réelle (respectivement la partie imaginaire) pour conclure que :
(respectivement que
).
Autre calcul possible
Il est aussi possible d'intégrer f(z) = exp( − z2) sur les bornes du triangle TR de sommets puis de faire tendre R vers l'infini.
Catégorie : Intégrale - Pour tout t > 0, la fonction
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