Convergence Uniforme

Convergence uniforme

Suite de fonctions convergeant uniformément vers la fonction valeur absolue.

La convergence uniforme d'une suite de fonctions $(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. Cette dernière demande en effet seulement que, pour chaque point $x$ , la suite $(f_{n}(x))_{n \in \mathbb{N}}$ ait une limite. La convergence devient uniforme quand toutes les suites $(f_{n}(x))_{n \in \mathbb{N}}$ avancent vers leur limite respective avec une sorte de « mouvement d'ensemble ».

Dans le cas de fonctions numériques d'une variable, la notion prend une forme d'évidence géométrique : le graphe de la fonction $f n$ se « rapproche » de celui de la limite.

Sommaire

1 Définition
- 1.1 Convergence uniforme
- 1.2 Quelques explications
2 Critère de Cauchy uniforme
3 Convergence uniforme de fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé
4 Critères de convergence uniforme pour les séries
5 Espace des fonctions numériques continues sur [a,b]
- 5.1 Théorème de Weierstrass
6 Notes et références
- 6.1 Voir aussi

Définition

Convergence uniforme

Soient $X\,\!$ un espace topologique, $(Y,d)\,$ un espace métrique et $A \subset X$ un sous-ensemble de $X \,$ .

Soit $(f_{n})_{n} \,\!$ une suite de fonctions définies sur $X\,\!$ et à valeurs dans $Y\,\!$ et $f\,\!$ une fonction définie sur $X\,\!$ à valeurs dans $Y\,\!$ . On dit que la suite $(f_{n})_{n} \,$ converge uniformément vers $f \,$ sur $A \,$ si :

$(1)\quad \forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon} \in \N,\forall n \in \N, n \ge N_{\varepsilon} \Rightarrow \forall x \in A, d(f_{n}(x),f(x)) < \varepsilon$

Remarque : la proposition $\scriptstyle (1)$ est équivalente à :

$\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon} \in \N,\forall n \in \N, n \ge N_{\varepsilon} \Rightarrow \sup_{x \in A}( d(f_{n}(x),f(x)) < \varepsilon$

Quelques explications

On peut se demander a posteriori quelle est la différence entre la convergence simple d'une suite de fonctions et la convergence uniforme. En effet, la suite de fonctions $(f_{n})_{n} \,$ converge simplement vers $f \,$ sur $A \,$ si :

$\forall x \in A,\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon,x} \in \N,\forall n \in \N, n \ge N_{\varepsilon,x} \Rightarrow d(f_{n}(x),f(x)) < \varepsilon$

Ici, l'indice $N_{\varepsilon,x}\,$ dépend de $x \in A \,$ alors que dans la proposition $(1)\,$ , l'indice $N_{\varepsilon}\,$ n'en dépend pas. Cette différence peut paraître anodine aux non-initiés, mais elle est pourtant essentielle:

Dans le cas de la convergence simple, pour tout élément $x \in A \,$ , on peut trouver un rang à partir duquel la distance $d(f_{n}(x),f(x))\,$ devient très petite. A priori, si on choisit un $y \in A \,$ autre que x alors le rang à partir duquel la distance $d(f_{n}(y),f(y))\,$ devient très petite va être différent.
Dans le cas de la convergence uniforme, on peut trouver un rang à partir duquel la distance $d(f_{n}(x),f(x)) \,$ devient très petite pour n'importe quel $x \in A \,$ à la fois. Cette condition est donc beaucoup plus forte. En particulier, une suite de fonctions qui converge uniformément sur un ensemble converge simplement sur celui-ci. La réciproque est en général fausse sauf dans des cas très particuliers (voir Théorèmes de Dini).

Critère de Cauchy uniforme

Maintenant, on suppose en plus que l'espace métrique $(Y,d)\,$ est un espace complet. C'est le cas de bon nombre d'espaces métriques, comme par exemple de $(\R,| \cdot |)\,$ la droite réelle munie de sa valeur absolue ou encore plus généralement de tout espace de Banach.

Sous ces conditions, une suite de fonctions $(f_{n})_{n}\,$ converge uniformément sur $A \,$ si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy uniforme, à savoir :

$\forall \varepsilon >0, \exists N_{\varepsilon } \in \N,\forall p \in \N, \forall q \in \N, (p,q \ge N_{\varepsilon }) \Rightarrow \forall x \in A, d(f_{p}(x),f_{q}(x)) < \varepsilon$

Comme dans le cas des suites de Cauchy, il n'est pas nécessaire d'exhiber la fonction vers laquelle tend une suite de fonctions pour montrer que la convergence est uniforme.

Pour s'en rendre compte, il suffit de remarquer que pour tout x, la suite $f_{n}(x)\,$ converge car elle est de Cauchy dans un espace complet. Notons $f(x)\,$ sa limite. On choisit une valeur $\varepsilon \,$ strictement supérieure à 0, Il existe un entier N tel que :

$\forall p \in \N, \forall q \in \N, (p,q \ge N) \Rightarrow \forall x \in A, d(f_{p}(x),f_{q}(x)) < \frac {\varepsilon}2$

Pour chaque x, il existe un entier $q_x\,(q_x \ge N)$ telle que : $d(f_{q_x}(x), f(x))< \frac {\varepsilon}2$

Autrement dit : $\forall p \ge N, \forall x \in A, \exists q_x \in \N\quad d(f_{p}(x),f(x)) \le d(f_{p}(x),f_{q_x}(x)) + d(f_{q_x}(x), f(x)) < \varepsilon$

La dernière majoration montre la convergence uniforme. Ainsi si une suite vérifie le critère de Cauchy uniforme elle est uniformément convergente. Réciproquement, toute suite convergente vérifie nécessairement le critère de Cauchy, ce qui termine la démonstration.

Convergence uniforme de fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé

On suppose maintenant que $X\,$ est un espace métrique et que $(Y,||\cdot||)$ est un espace vectoriel normé : c'est un espace métrique dont la topologie est issue de la distance $d\,$ telle que :

$\forall y \in Y, \forall y' \in Y, d(y,y')=||y-y'||$ .

La convergence uniforme d'une suite de fonctions $(f_{n})_{n}\,$ sur une partie $A\,$ inclus dans $X\,$ s'écrit donc :

$\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon } \in \N,\forall n \in \N, n \ge N_{\varepsilon } \Rightarrow \forall x \in A, ||f_{n}(x)-f(x)|| < \varepsilon$

Ce qui est encore équivalent à :

$\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon } \in \N,\forall n \in \N, n \ge N_{\varepsilon } \Rightarrow \sup_{x \in A}( ||f_{n}(x) -f(x)||) < \varepsilon$

Théorèmes

Contre-exemple : les fonctions continues en vert f_n(x)=sinⁿ(x) convergent vers la fonction discontinue en rouge mais la convergence n'est pas uniforme.

On a le résultat fondamental suivant:

Si $(f_{n})_{n}\,$ est une suite de fonctions continues convergeant uniformément sur $X\,$ vers une fonction $f\,$ alors $f\,$ est continue sur $X\,$ .

Preuve. Soit $\epsilon >0\,$ donné. Il existe un entier $N\,$ tel que, pour tout $x\in X\,$ , $d\big(f_N(x),f(x)\big)\le \epsilon$ . La fonction $f_N\,$ est continue en tout point $a\in X\,$ . Il existe ainsi un ouvert $U\,$ contenant $a\,$ tel que $d\big(f_N(x),f_N(a)\big)\le \epsilon$ pour tout $x\in U\,$ . Alors, si $x\in U\,$ ,

$d\big(f(x),f(a)\big)\le d\big(f(x),f_N(x)\big)+d\big(f_N(x),f_N(a)\big)+ d\big(f_N(a),f(a)\big)\le 3\epsilon$

Quand $X\,$ n'est pas compact, la convergence uniforme est un phénomène rare. Par exemple, $(1+\frac{z}{n})^{n}$ converge uniformément vers $e^z\,$ sur tout compact de $\mathbb{C}\,$ quand l'entier $n\,$ tend vers l'infini, mais pas sur $\mathbb{C}\,$ ; une série entière de rayon de convergence $R\,$ converge uniformément sur tout compact du disque ouvert de centre 0 et de rayon $R\,$ , mais on ne peut pas dire mieux en général.

En fait, la continuité étant une propriété locale, la convergence uniforme sur "suffisamment" de parties de $X\,$ suffit à assurer la continuité de la fonction limite.

Exemples

Lorsque $X\,$ est localement compact, ou lorsque sa topologie est définie par une métrique.

Dans ces conditions, si une suite $(f_n)_{,n\ge 0}$ de fonctions continues converge uniformément sur tout compact vers une fonction $f\,$ , alors $f\,$ est continue.

On a la même conclusion lorsque $X\,$ est un espace de Banach, si la convergence uniforme a lieu

sur toute boule fermée de centre $0\,$ . C'est ainsi que l'on démontre par exemple la continuité de la fonction exponentielle dans une algèbre de Banach.

Le résultat suivant, moins fort que le théorème de convergence dominée, est aussi beaucoup moins difficile à montrer.

Si $X=[a,b]\,$ est un intervalle de $\R$ , si $Y=\R$ ou $Y=\mathbb{C}$ , alors si une suite de fonctions $(f_{n})_{n}\,$ intégrables converge uniformément vers une fonction $f\,$ intégrable alors : $\lim_{n \rightarrow + \infty} \int_{a}^{b}f_{n}(x).dx = \int_{a}^{b}f(x).dx$ .

Son utilisation est à la base du résultat suivant d'analyse complexe.

Soit $(f_n)_{n\ge 0}\,$ une suite de fonctions holomorphes sur un ouvert de $U\subset\mathbb{C}\,$ , convergeant uniformément sur tout compact de $U\,$ vers une fonction $f\,$ . Alors $f\,$ est holomorphe.

Notation

On introduit la notation suivante : $\forall A \subset X, \forall f: X \rightarrow Y, ||f||_{\infty,A}= \sup_{x \in A} ( ||f(x)|| )$

Il s'ensuit directement qu'une suite de fonctions $(f_{n})_{n}\,$ converge uniformément vers une fonction $f\,$ si et seulement si :

$\lim_{n \rightarrow + \infty} ||f_{n}-f||_{\infty,A}=0$

$||\cdot||_{\infty,A}$ n'est en général pas une norme sur l'espace vectoriel des fonctions de $A\,$ à valeurs dans $Y\,$ .

Cas où X est compact

On suppose désormais que X est un espace métrique compact, $(Y,||\cdot||)$ étant toujours un espace vectoriel normé. On note $\mathcal{C}(X,Y)$ l'ensemble des fonctions continues définies sur $X\,$ et à valeurs dans $Y\,$ .

Alors : $(\mathcal{C}(X,Y),||\cdot||_{\infty,X})$ est un espace vectoriel normé. Si de plus, $Y\,$ est complet alors $\mathcal{C}(X,Y)$ est lui aussi complet.

Critères de convergence uniforme pour les séries

Dans cette section, il n'est envisagé que le cas des fonctions réelles d'une variable réelle.

On trouve dans la littérature^[1] la mention de nombreux tests de convergence uniforme portant les noms d'Abel, de Dedekind, de du Bois-Reymond, de Dirichlet, de Weierstrass... Ces critères sont des critères pratiques, cas particuliers de la formule de sommation partielle d'une série, plus faciles à appliquer.

Critère de Weierstrass

« La série $\sum a_n(x)$ converge uniformément dans l'intervalle I si les fonctions $a n (x)$ sont chacune majorées en valeur absolue sur l'intervalle I par un nombre $α n$ et que la série $\sum \alpha_n$ est convergente. »

On dit dans ce cas que l'on a une série normalement convergente.

Critère de convergence uniforme d'Abel

« La série $\sum a_n(x)b_n(x)$ converge uniformément dans l'intervalle I si la série $\sum a_n(x)$ converge uniformément dans I et si de plus, pour toute valeur fixée de x, la suite $b n (x)$ est monotone et enfin s'il existe un nombre K indépendant de x qui majore |b_n(x)| pour tout x de I et tout n. »

On exprime cette dernière condition en disant que les fonctions $b n (x)$ sont uniformément bornées dans I.

Critère de convergence uniforme de Dirichlet

« La série $\sum a_n(x)b_n(x)$ converge uniformément dans l'intervalle I si les sommes partielles de la série $\sum a_n(x)$ sont uniformément bornées dans I et si les fonctions $b n (x)$ convergent uniformément dans I vers 0, la convergence étant monotone pour tout x fixé. »

Critère de convergence uniforme de Dedekind

« La série $\sum a_n(x)b_n(x)$ converge uniformément dans l'intervalle I si la série $\sum a_n(x)$ admet des sommes partielles uniformément bornées , les fonctions $b n (x)$ tendent vers 0 uniformément dans I et que la série $\sum|b_n(x)-b_{n+1}(x)|$ converge uniformément dans I. »

Critère de convergence uniforme de Du Bois-Reymond

« La série $\sum a_n(x)b_n(x)$ converge uniformément dans l'intervalle I si les séries $\sum a_n(x)$ et $\sum|b_n(x)-b_{n+1}(x)|$ convergent uniformément dans I, les fonctions $b n (x)$ étant de plus uniformément bornées dans I. »

Un autre critère

« La série $\sum a_n(x)b_n(x)$ converge uniformément dans l'intervalle I si les séries $\sum a_n(x)$ et $\sum|a_n(x)|$ convergent uniformément dans I, les fonctions $b n (x)$ étant de plus uniformément bornées dans I. »

dont un corollaire immédiat est

« La série $\sum a_n(x)b_n(x)$ converge uniformément dans l'intervalle I si la série $\sum a_n(x)$ converge uniformément dans I, les fonctions $a n (x)$ étant positives et les fonctions $b n (x)$ étant uniformément bornées dans I. »

Espace des fonctions numériques continues sur [a,b]

On choisit dans cette section $X=[a,b]\,$ un intervalle compact de $\R$ et $Y=\R$ . Puisque $\R$ muni de la valeur absolue est complet, il en résulte que l'espace vectoriel normé $\mathcal{C}([a,b],\R)$ muni de la norme $||\cdot||_{\infty,[a,b]}$ est complet.

Théorème de Weierstrass

Le théorème de Weierstrass affirme qu'on peut approcher de manière uniforme n'importe quelle fonction numérique continue sur $[a,b]\,$ par une suite de fonctions très régulières à savoir par des polynômes. Plus précisément, si $f\,$ est une fonction continue sur $[a,b]\,$ alors:

$\forall \varepsilon>0, \exists P_{\varepsilon} \in \R[X], ||f-P_{\varepsilon}||_{\infty,[a,b]}\leq \varepsilon$ .

où $\R[X]$ désigne l'ensemble des polynômes à coefficients réels.

Notes et références

↑ Voir par exemple Knopp, theorie und andwendung der unendlichen reihen, 1922, (ou sa traduction, Knopp, Theorie and applications of infinite series, 1954)

Voir aussi

Théorèmes de Dini

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