- Convergence Uniforme
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Convergence uniforme
Suite de fonctions convergeant uniformément vers la fonction valeur absolue.La convergence uniforme d'une suite de fonctions
est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. Cette dernière demande en effet seulement que, pour chaque point x, la suite
ait une limite. La convergence devient uniforme quand toutes les suites
avancent vers leur limite respective avec une sorte de « mouvement d'ensemble ».
Dans le cas de fonctions numériques d'une variable, la notion prend une forme d'évidence géométrique : le graphe de la fonction fn se « rapproche » de celui de la limite.
Sommaire
Définition
Convergence uniforme
- Soient
un espace topologique,
un espace métrique et
un sous-ensemble de
.
Soit
une suite de fonctions définies sur
et à valeurs dans
et
une fonction définie sur
à valeurs dans
. On dit que la suite
converge uniformément vers
sur
si :
Remarque : la proposition
est équivalente à :
Quelques explications
On peut se demander a posteriori quelle est la différence entre la convergence simple d'une suite de fonctions et la convergence uniforme. En effet, la suite de fonctions
converge simplement vers
sur
si :
Ici, l'indice
dépend de
alors que dans la proposition
, l'indice
n'en dépend pas. Cette différence peut paraître anodine aux non-initiés, mais elle est pourtant essentielle:
- Dans le cas de la convergence simple, pour tout élément
, on peut trouver un rang à partir duquel la distance
devient très petite. A priori, si on choisit un
autre que x alors le rang à partir duquel la distance
devient très petite va être différent.
- Dans le cas de la convergence uniforme, on peut trouver un rang à partir duquel la distance
devient très petite pour n'importe quel
à la fois. Cette condition est donc beaucoup plus forte. En particulier, une suite de fonctions qui converge uniformément sur un ensemble converge simplement sur celui-ci. La réciproque est en général fausse sauf dans des cas très particuliers (voir Théorèmes de Dini).
Critère de Cauchy uniforme
Maintenant, on suppose en plus que l'espace métrique
est un espace complet. C'est le cas de bon nombre d'espaces métriques, comme par exemple de
la droite réelle munie de sa valeur absolue ou encore plus généralement de tout espace de Banach.
Sous ces conditions, une suite de fonctions
converge uniformément sur
si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy uniforme, à savoir :
Comme dans le cas des suites de Cauchy, il n'est pas nécessaire d'exhiber la fonction vers laquelle tend une suite de fonctions pour montrer que la convergence est uniforme.
Pour s'en rendre compte, il suffit de remarquer que pour tout x, la suite
converge car elle est de Cauchy dans un espace complet. Notons
sa limite. On choisit une valeur
strictement supérieure à 0, Il existe un entier N tel que :
Pour chaque x, il existe un entier
telle que :
Autrement dit :
La dernière majoration montre la convergence uniforme. Ainsi si une suite vérifie le critère de Cauchy uniforme elle est uniformément convergente. Réciproquement, toute suite convergente vérifie nécessairement le critère de Cauchy, ce qui termine la démonstration.
Convergence uniforme de fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé
On suppose maintenant que
est un espace métrique et que
est un espace vectoriel normé : c'est un espace métrique dont la topologie est issue de la distance
telle que :
.
La convergence uniforme d'une suite de fonctions
sur une partie
inclus dans
s'écrit donc :
Ce qui est encore équivalent à :
Théorèmes
On a le résultat fondamental suivant:
Si
est une suite de fonctions continues convergeant uniformément sur
vers une fonction
alors
est continue sur
.
Preuve. Soit
donné. Il existe un entier
tel que, pour tout
,
. La fonction
est continue en tout point
. Il existe ainsi un ouvert
contenant
tel que
pour tout
. Alors, si
,
Quand
n'est pas compact, la convergence uniforme est un phénomène rare. Par exemple,
converge uniformément vers
sur tout compact de
quand l'entier
tend vers l'infini, mais pas sur
; une série entière de rayon de convergence
converge uniformément sur tout compact du disque ouvert de centre 0 et de rayon
, mais on ne peut pas dire mieux en général.
En fait, la continuité étant une propriété locale, la convergence uniforme sur "suffisamment" de parties de
suffit à assurer la continuité de la fonction limite.
Exemples
- Lorsque
est localement compact, ou lorsque sa topologie est définie par une métrique.
Dans ces conditions, si une suite
de fonctions continues converge uniformément sur tout compact vers une fonction
, alors
est continue.
- On a la même conclusion lorsque
est un espace de Banach, si la convergence uniforme a lieu
sur toute boule fermée de centre
. C'est ainsi que l'on démontre par exemple la continuité de la fonction exponentielle dans une algèbre de Banach.
Le résultat suivant, moins fort que le théorème de convergence dominée, est aussi beaucoup moins difficile à montrer.
Si
est un intervalle de
, si
ou
, alors si une suite de fonctions
intégrables converge uniformément vers une fonction
intégrable alors :
.
Son utilisation est à la base du résultat suivant d'analyse complexe.
Soit
une suite de fonctions holomorphes sur un ouvert de
, convergeant uniformément sur tout compact de
vers une fonction
. Alors
est holomorphe.
Notation
On introduit la notation suivante :
Il s'ensuit directement qu'une suite de fonctions
converge uniformément vers une fonction
si et seulement si :
n'est en général pas une norme sur l'espace vectoriel des fonctions de
à valeurs dans
.
Cas où X est compact
On suppose désormais que X est un espace métrique compact,
étant toujours un espace vectoriel normé. On note
l'ensemble des fonctions continues définies sur
et à valeurs dans
.
Alors :
est un espace vectoriel normé. Si de plus,
est complet alors
est lui aussi complet.
Critères de convergence uniforme pour les séries
Dans cette section, il n'est envisagé que le cas des fonctions réelles d'une variable réelle.
On trouve dans la littérature[1] la mention de nombreux tests de convergence uniforme portant les noms d'Abel, de Dedekind, de du Bois-Reymond, de Dirichlet, de Weierstrass... Ces critères sont des critères pratiques, cas particuliers de la formule de sommation partielle d'une série, plus faciles à appliquer.
Critère de Weierstrass
« La sérieconverge uniformément dans l'intervalle I si les fonctions an(x) sont chacune majorées en valeur absolue sur l'intervalle I par un nombre αn et que la série
est convergente. »
On dit dans ce cas que l'on a une série normalement convergente.
Critère de convergence uniforme d'Abel
« La sérieconverge uniformément dans l'intervalle I si la série
converge uniformément dans I et si de plus, pour toute valeur fixée de x, la suite bn(x) est monotone et enfin s'il existe un nombre K indépendant de x qui majore |b_n(x)| pour tout x de I et tout n. »
On exprime cette dernière condition en disant que les fonctions bn(x) sont uniformément bornées dans I.
Critère de convergence uniforme de Dirichlet
« La sérieconverge uniformément dans l'intervalle I si les sommes partielles de la série
sont uniformément bornées dans I et si les fonctions bn(x) convergent uniformément dans I vers 0, la convergence étant monotone pour tout x fixé. »
Critère de convergence uniforme de Dedekind
« La sérieconverge uniformément dans l'intervalle I si la série
admet des sommes partielles uniformément bornées , les fonctions bn(x) tendent vers 0 uniformément dans I et que la série
converge uniformément dans I. »
Critère de convergence uniforme de Du Bois-Reymond
« La sérieconverge uniformément dans l'intervalle I si les séries
et
convergent uniformément dans I, les fonctions bn(x) étant de plus uniformément bornées dans I. »
Un autre critère
« La sérieconverge uniformément dans l'intervalle I si les séries
et
convergent uniformément dans I, les fonctions bn(x) étant de plus uniformément bornées dans I. »
dont un corollaire immédiat est
« La sérieconverge uniformément dans l'intervalle I si la série
converge uniformément dans I, les fonctions an(x) étant positives et les fonctions bn(x) étant uniformément bornées dans I. »
Espace des fonctions numériques continues sur [a,b]
On choisit dans cette section
un intervalle compact de
et
. Puisque
muni de la valeur absolue est complet, il en résulte que l'espace vectoriel normé
muni de la norme
est complet.
Théorème de Weierstrass
Le théorème de Weierstrass affirme qu'on peut approcher de manière uniforme n'importe quelle fonction numérique continue sur
par une suite de fonctions très régulières à savoir par des polynômes. Plus précisément, si
est une fonction continue sur
alors:
.
où
désigne l'ensemble des polynômes à coefficients réels.
Notes et références
- ↑ Voir par exemple Knopp, theorie und andwendung der unendlichen reihen, 1922, (ou sa traduction, Knopp, Theorie and applications of infinite series, 1954)
Voir aussi
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