Primitive

Pour les articles homonymes, voir Primitif.

Ne pas confondre avec la notion de fonction primitive en informatique.

En mathématiques, une primitive (ou, rarement, antidérivée – de l'anglais antiderivative) d'une fonction $f$ d'une variable réelle définie sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ définie et dérivable sur $I$ dont la dérivée est $f$ , autrement dit telle que :

$\forall x \in I,\quad F\,'(x) = f(x).$

Une condition suffisante pour qu'une fonction $f$ admette des primitives sur un intervalle est qu'elle y soit continue.

Si $f$ est une fonction admettant une primitive $F$ sur un intervalle $I$ , alors pour tout réel $k$ , une primitive de $k f$ sur l'intervalle $I$ est $k F$ .

Si $F$ et $G$ sont des primitives respectives de deux fonctions $f$ et $g$ , alors une primitive de $f + g$ est $F + G$ .

Si une fonction $f$ admet une primitive sur un intervalle, elle en admet une infinité, qui diffèrent d'une constante (appelée souvent constante d'intégration) : si $F 1$ et $F 2$ sont deux primitives de $f$ , alors il existe un réel $k 0$ tel que $F 1 = F 2 + k 0$ .

Si $F$ est une primitive de $f$ , alors

$F(b)-F(a) = \int^b_a f(x)\;\mathrm dx$ .

Ceci est la seconde partie du théorème fondamental de l'analyse.

Sommaire

1 Exemples
2 Calcul automatique
3 Primitives courantes
- 3.1 Fonctions simples
- 3.2 Fonctions composées
4 Voir aussi

Exemples

Polynômes et fonctions rationnelles

Une primitive de la fonction $f:x \longmapsto 2x\,$ est $F:x \longmapsto x^2\,$
Une primitive de la fonction $g:x \longmapsto 4x^3\,$ est $G:x \longmapsto x^4\,$
Une primitive de la fonction $f+g:x \longmapsto 2x + 4x^3\,$ est $F + G:x \longmapsto x^2 + x^4\,$
Une primitive de la fonction $f:x \longmapsto x^n\,$ est $F:x \longmapsto \tfrac{x^{n+1}}{n+1}$ pour $n$ réel différent de −1.
Une primitive de la fonction inverse $f:x \longmapsto \tfrac{1}{x}$ est la fonction logarithme népérien $x \longmapsto \ln(x)\,$ . Pour x > 0.
Dans le cas général, il n'y a pas de manière simple d'avoir la primitive d'une fraction rationnelle sauf en la décomposant en éléments simples.

Fonctions trigonométriques

Une primitive de la fonction cosinus est la fonction sinus.
Une primitive de la fonction sinus est l'opposé de la fonction cosinus.

Autres

Une primitive de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même.

Calcul automatique

Des logiciels comme Maxima, Maple ou Mathematica permettent depuis quelques années de calculer interactivement certaines primitives sous forme symbolique. Le premier logiciel permettant d'effectuer de l'intégration assistée par ordinateur sous forme symbolique était le langage FORMAC, utilisé par les physiciens dans les années 1970.

Primitives courantes

Article détaillé : table de primitives.

Pour le premier tableau, la première colonne est la fonction dont on cherche les primitives, la deuxième est son domaine de définition et la troisième, les primitives de cette fonction sur un intervalle inclus dans ce domaine.

Pour le second tableau, la première colonne est la fonction dont on cherche les primitives et la seconde, les primitives de cette fonction sur un intervalle inclus dans son domaine.

(Sur une réunion d'intervalles disjoints, une primitive a la même expression, mais avec une constante C a priori différente pour chaque intervalle.)

Fonctions simples

$C, a,ω,φ$ désignent des constantes réelles, avec $\omega\neq 0$ .

Tableau des primitives simples
$f (x)$	$D D$	$F (x)$
${0}\,$	$\R$	${C}\,$
$x^a, \forall\, a\in \R\backslash\{-1\}$	$\R^$ si $a\in\Z$ ; $\R^_+$ sinon	$\frac {x^{a+1}}{a+1}+C$
$\frac {1}{x}$	$\R^*$	$\ln\|x\|+C\,$
$cos(ω x + φ)$	$\R$	$\frac{1}{\omega} \sin(\omega x+\varphi)+C$
$sin(ω x + φ)$	$\R$	$-\frac{1}{\omega} \cos(\omega x+\varphi)+C$
$\frac {1}{\cos^2{x}}$	$\R\backslash \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z\right\}$	$\tan {x}+C\,$
$-\frac {1}{\sin^2{x}} \,$	$\R\backslash \left\{k\pi,k\in\Z\right\}$	$\operatorname{cotan}\,{x}+C\,$
$e^x\,$	$\R$	$e^x+C\,$
$\ln {x}\,$	$\R^*_+$	$x\ln {x} - x + C\,$
$\tan x = \frac{\sin {x}}{\cos {x}}$	$\R\backslash \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z\right\}$	$-\ln \ \|\cos {x} \|+C\,$
$\sin x \times \cos x$	$\R$	$-\frac{1}{2} \times \cos^2{x} +C$

Noter que ce tableau inclut les primitives de $x a$ non seulement pour $a\in\N$ (entier naturel), ce qui permet de trouver celles des polynômes, mais aussi pour $a\in\Z$ (entier relatif), par exemple $\frac 1{x^2}=x^{-2}$ , et même pour $a$ réel non entier, par exemple $\sqrt x=x^\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{\sqrt x}=x^{-\frac{1}{2}}$ .

Fonctions composées

Soient $u$ et $v$ deux fonctions, et $λ$ un réel.

Tableau des primitives composées
$f (x)$	$F (x)$
$\lambda u^\prime$	$\lambda\ u + C$
$u^\prime + v^\prime$	$u + v + C$
$(v^\prime\circ u) \times (u^\prime)$	$(v\circ u)+C$
$(u^a)\times(u^\prime), \forall\,a\in \R\backslash\{-1\}$	$\frac {u^{a+1}}{a+1}+C$
$\frac{u^\prime}{u}$	$ln \| u \| + C$
$\sin u \times u^\prime$	$- \cos\,{u} +C$
$e^u \times u^\prime$	$e^{u}+C\,$

Voir aussi

Portail de l'analyse

Catégories :

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Primitive de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

Primitive — is a subjective label used to imply that one thing is less sophisticated or less advanced than some other thing. Being a comparative word it is also relative in nature.Indigenous peoples and their beliefs and practices are sometimes described as… … Wikipedia
Primitive — Prim i*tive, a. [L. primitivus, fr. primus the first: cf. F. primitif. See {Prime}, a.] 1. Of or pertaining to the beginning or origin, or to early times; original; primordial; primeval; first; as, primitive innocence; the primitive church. Our… … The Collaborative International Dictionary of English
primitive — ● primitive nom féminin Instruction élémentaire ou fonction de base utilisée dans un langage de programmation. Pour une fonction f définie sur un intervalle de R et à valeurs réelles ou complexes, fonction F qui est dérivable et telle que F′ = f … Encyclopédie Universelle
Primitive — Студийный альбом Soulfly Дата выпуска 26 сентября 2000 Записан The Saltmine Studio Oasis, Меса, Аризона Жанр … Википедия
primitive — c.1400, of a thing from which something is derived, not secondary (a sense now associated with primary), from O.Fr. primitif (fem. primitive), from L. primitivus first or earliest of its kind, from primitus at first, from primus first (see PRIME… … Etymology dictionary
primitive — [adj1] ancient, original archaic, basic, earliest, early, elementary, essential, first, fundamental, old, primal, primary, primeval, primordial, pristine, substratal, underivative, underived, underlying, undeveloped, unevolved; concept 799 Ant.… … New thesaurus
primitive — ► ADJECTIVE 1) relating to the earliest times in history or stages in development. 2) denoting a preliterate, non industrial society of simple organization. 3) offering an extremely basic level of comfort or convenience. 4) (of behaviour or… … English terms dictionary
primitive — [prim′i tiv] adj. [ME primitif < MFr < L primitivus < primus, first: see PRIME] 1. of or existing in the beginning or the earliest times or ages; ancient; original 2. a) characteristic or imitative of the earliest ages b) crude, simple,… … English World dictionary
Primitive — Prim i*tive, n. An original or primary word; a word not derived from another; opposed to derivative. [1913 Webster] … The Collaborative International Dictionary of English
primitive — primitive. См. примитивный. (Источник: «Англо русский толковый словарь генетических терминов». Арефьев В.А., Лисовенко Л.А., Москва: Изд во ВНИРО, 1995 г.) … Молекулярная биология и генетика. Толковый словарь.
primitive — index brutal, elementary, incipient, obsolete, organic, original (initial), outdated, outmoded … Law dictionary

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Primitive

Sommaire

Exemples

Calcul automatique