Tridiagonalisation d'une matrice symétrique

Tridiagonalisation d'une matrice symétrique

Le théorème spectral affirme que toute matrice symétrique réelle S est diagonalisable dans une base orthonormée. Cependant, une telle diagonalisation est souvent coûteuse en temps de calcul et il est parfois suffisant de transformer une matrice symétrique en matrice tridiagonale :

T = \begin{pmatrix} b_1 & c_1 & & 0 \\ c_1 & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & c_{n-1} \\ 0 & & c_{n-1} & b_n \end{pmatrix}

De plus, S et T ayant les mêmes valeurs propres, la tridiagonalisation est souvent la première étape du calcul des valeurs propres de S.


Sommaire

Lemme de Householder

Théorème — Pour toute matrice symétrique réelle S il existe une matrice orthogonale H telle que tHSH soit tridiagonale symétrique.

La démonstration est constructive et est donnée dans le paragraphe suivant.

Méthode de Householder

La méthode de construction de Householder consiste par récurrence à créer, à partir de A1 = S, une suite de matrices (Ak) telle que Ak + 1 = tHkAkHk, où Hk est une matrice orthogonale.

Les matrices Ak sont de la forme :

A_k = \begin{pmatrix} T_k & ^t L_k \\ L_k & M_k \end{pmatrix}

où

  • Tk est une matrice tridiagonale symétrique de taille k
  • Lk une matrice rectangulaire dont seule la dernière colonne est non nulle.
  • Mk une matrice de taille n-k

Ak est donc de la forme :

A_k = \begin{pmatrix} b_1 & c_1 & & (0) \\ c_1 & \ddots & \ddots & & & (0) \\ & \ddots & \ddots & c_{k-1} \\ (0) & & c_{k-1} & b_k & l_1 & \ldots & l_{n-k} \\ & & & l_1 & \\ & (0) & & \vdots & & (M_k)\\ & & & l_{n-k} & \\ \end{pmatrix}
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Si S est de taille n, on construit ainsi (n-2) matrices orthogonales Hk telles que tHSH soit tridiagonale symétrique, où H=H_1H_2\ldots H_{n-2}.

Méthode de Givens

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Méthode de Lanczos

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Voir aussi

Lien externe

Réduction de Givens sur le site de l'université Grenoble-I

Bibliographie

Grégoire Allaire, Analyse numérique et optimisation, Éditions de l'École polytechnique, 2005 (ISBN 2-7302-1255-8) [lire en ligne (page consultée le 5 octobre 2010)] 

Articles connexes


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