Indépendance linéaire

En algèbre linéaire, étant donnée une famille de vecteurs, les vecteurs de la famille sont linéairement indépendants, ou forment une famille libre, si toute combinaison linéaire finie nulle de ces vecteurs a nécessairement tous ses coefficients nuls. Cela revient à dire qu'aucun des vecteurs de la famille n'est combinaison linéaire finie des autres. Par exemple dans l'espace vectoriel euclidien $\mathbb{R}^3$ les trois vecteurs $(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ et $(0,0,1)$ sont linéairement indépendants, tandis que $(2, - 1,1)$ , $(1,0,1)$ et $(3, - 1,2)$ ne sont pas linéairement indépendants (on remarque en effet que $(2, - 1,1) + (1,0,1) = (3, - 1,2)$ ). Dans le cas où des vecteurs ne sont pas linéairement indépendants, ils sont dits linéairement dépendants, ou qu'ils forment une famille liée.

Sommaire

1 Définitions
2 Exemples
3 Propriétés
4 Espace projectif des dépendances linéaires
5 Voir aussi

Définitions

Soit E un espace vectoriel sur un corps K.

Une famille finie $(v_i)_{1\leq i\leq n}$ de vecteurs de E est libre, ou encore, la famille est constituée de vecteurs linéairement indépendants si

$\forall (a_1, \ldots, a_n)\in K^n, \quad a_1.v_1+\cdots+a_n.v_n=0_E\Rightarrow a_1=a_2=\cdots=a_n=0_K,$

c'est-à-dire, toute combinaison linéaire nulle des vecteurs $v i$ a nécessairement des coefficients tous nuls (le signe 0 désigne le vecteur nul de E, noté $0 E$ et l'élément neutre pour l'addition dans K, noté $0 K$ ).

Une famille infinie $(v_i)_{i\in I}$ est libre si toutes ses sous-familles finies le sont : pour toute famille $(a_i)_{i\in I}$ de scalaires tous nuls sauf éventuellement un nombre fini,

$\sum_{i\in I} a_i.v_i=0_E\Rightarrow(\forall i\in I,a_i=0_K)$ .

Dans le cas contraire, les vecteurs sont dits linéairement dépendants, ou encore la famille est dite liée. Ainsi, $(v_i)_{i\in I}$ est une famille de vecteurs liée s'il existe une famille $(a_j)_{j\in I}$ d'éléments de $K$ tous nuls sauf un nombre fini, telle que

$\sum_{i \in I} a_i.v_i = 0_E \,$ .

À partir des notions de famille libre ou liée, on définit celles de partie libre ou liée : une partie $A$ de $E$ est dite libre si et seulement si la famille $(a)_{a\in A}$ est libre, et elle est dite liée si et seulement si la famille $(a)_{a\in A}$ est liée.

Exemples

Exemple 1

Dans l'espace vectoriel R⁴, les trois vecteurs u=(4,2,1,3), v=(2,0,3,0) et w=(6,2,4,-3) sont linéairement indépendants.

Les coefficients des vecteurs u, v et w forment la matrice

$\begin{pmatrix}4&2&1&3\\ 2&0&3&0\\ 6&2&4&-3\end{pmatrix}$

Une méthode pour démontrer que les vecteurs u, v et w forment une famille libre est d'extraire une sous-matrice carrée de déterminant non nul. Eliminer la première ou dernière colonne fournit les matrices carrées

$\begin{pmatrix}4&2&1\\ 2&0&3\\ 6&2&4\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}2&1&3\\ 0&3&0\\ 2&4&-3\end{pmatrix}$ .

La première est de déterminant nul mais le seconde est de déterminant -36. Les vecteurs u, v et w sont donc linéairement indépendants.

Exemple 2

Soit $E=\R^n$ et considérons les éléments suivants de $E$ :

$\begin{matrix} \mathbf{e}_1&=&(1,0,0,\ldots,0)\\ \mathbf{e}_2&=&(0,1,0,\ldots,0)\\ &\vdots\\ \mathbf{e}_n&=&(0,0,0,\ldots,1).\end{matrix}$

Alors $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n$ sont linéairement indépendants.

Démonstration

Supposons que $a 1$ , $a 2$ , ..., $a n$ soient des réels tels que

$a_1\mathbf{e}_1+a_2\mathbf{e}_2+\cdots+a_n\mathbf{e}_n=0$ .

Alors,

$a_1\mathbf{e}_1+a_2\mathbf{e}_2+\cdots+a_n\mathbf{e}_n =(a_1,a_2,\ldots, a_n)$

et ainsi

$\forall i\in\{1,\ldots, n\},a_i=0$ .

Exemple 3

Les fonctions réelles d'une variable réelle, de classe analytique, forment un sous-espace vectoriel E de l'espace vectoriel réel des fonctions de R dans R. Les fonctions $f_{\lambda}:t\mapsto e^{\lambda t}$ pour $λ$ réel forment une famille infinie non dénombrable de vecteurs linéairement indépendants. La démonstration qui suit montre comment mettre en œuvre le calcul d'un déterminant.

Il suffit de vérifier que toute famille finie extraite est libre. Soit une famille $(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ d'indices distincts. Les fonctions $g_i=f_{\lambda_i}$ pour $0\leq i\leq n$ sont les coordonnées d'une fonction $g=(g_1,\dots,g_n)$ d'une variable réelle à valeurs dans Rⁿ. En évaluant la fonction g en les réels 0, 1, 2, ..., n-1, on dispose de n vecteurs distincts :

$g(j)=(e^{\lambda_1j},\dots,e^{\lambda_nj})=(x_1^j,\dots,x_n^{j})$

où on a posé $x_i=e^{\lambda_i}$ . Ces vecteurs sont les vecteurs colonnes de la matrice

$\begin{pmatrix} 1&x_1&x_1^2&\dots&x_1^{n-1}\\ 1&x_2&x_2^2&\dots&x_2^{n-1}\\ 1 & x_3&x_3^2&\dots&x_3^{n-1}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 1 & x_n&x_n^2&\dots&x_n^{n-1}\end{pmatrix}$

C'est la matrice de Vandermonde associée au n-uplet $(x_1,\dots,x_n)$ . Son déterminant est non nul, ce qui signifie que les vecteurs colonnes $(g(0),\dots,g(n-1))$ forment une famille libre de Rⁿ. Soient $a_1,\dots,a_n$ des scalaires tels que

$\sum_{i=1}^na_if_i=0$ .

Le membre de droite est la fonction identiquement nulle. Cette égalité signifie que l'évaluation de la fonction de gauche en tout réel t donne 0. On procède à l'évaluation en les réels t=0, 1, 2, ..., n-1. Si l'un des scalaires a_i est non nul, il s'ensuit que les n vecteurs $g(0),\dots,g(n-1)$ appartiennent à l'hyperplan de Rⁿ d'équation $\sum a_ix_i=0$ , ce qui contredit leur indépendance linéaire.

Propriétés

La famille $(v)$ et la partie ${v}$ sont libres si et seulement si le vecteur $v$ est non nul.
La famille (v₁,v₂) est liée si et seulement si v₁ et v₂ sont colinéaires (en particulier, la famille (v,v) est toujours liée, que v soit nul ou pas).
Si l'une des sous-familles d'une famille est liée (en particulier si deux de ses vecteurs sont colinéaires ou si l'un d'entre eux est nul), alors cette famille est liée. Autrement dit, si une famille est libre, alors toutes ses sous-familles sont libres.
Une famille est liée si et seulement si l'un de ses éléments appartient au sous-espace vectoriel engendré par les autres vecteurs de la famille.
La famille vide et la partie vide sont libres.

Espace projectif des dépendances linéaires

Une relation de dépendance linéaire de $n$ vecteurs $v_1,\ldots,v_n$ peut être représentée par un $n$ -uplet $(a_1,\ldots, a_n)$ de $n$ scalaires, non tous nuls, tels que

$a_1v_1+\cdots+a_nv_n=0.$

Si une telle relation de dépendance linéaire existe, alors les $n$ vecteurs sont linéairement dépendants. Il est alors possible d'identifier deux relations de dépendances linéaires si l'une est multiple non nul de l'autre relation, parce que dans ce cas les deux correspondent à la même dépendance linéaire des vecteurs entre eux. Sous cette identification, l'ensemble des $n$ -uplets décrivant les dépendances linéaires des vecteurs $v_1, \ldots,v_n$ est un espace projectif.

Voir aussi

L'orthogonalité
Les matroïdes (paragraphe généralisation du concept)
L'indépendance algébrique

v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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