Dépendance linéaire

Indépendance linéaire

En algèbre linéaire, étant donnée une famille de vecteurs, les vecteurs de la famille sont linéairement indépendants si toute combinaison linéaire finie nulle de ces vecteurs a nécessairement tous ses coefficients nuls. Cela revient à dire qu'aucun des vecteurs de la famille n'est combinaison linéaire finie des autres. Par exemple dans l'espace vectoriel euclidien $\mathbb{R}^3$ les trois vecteurs $(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ et $(0,0,1)$ sont linéairement indépendants, tandis que $(2, - 1,1)$ , $(1,0,1)$ et $(3, - 1,2)$ ne sont pas linéairement indépendants. Dans le cas où des vecteurs ne sont pas linéairement indépendants, ils sont dits linéairement dépendants.

Sommaire

1 Définitions
2 Exemples
3 Espace projectif des dépendances linéaires
4 Voir aussi

Définitions

Soient $n$ un entier naturel non nul, et $v_1, \ldots, v_n$ $n$ vecteurs d'un espace vectoriel $E$ sur un corps commutatif $K$ . Les vecteurs sont dits linéairement indépendants si

$\forall (a_1, \ldots, a_n)\in K^n, \quad a_1.v_1+\ldots+a_n.v_n=0_E\Rightarrow a_1=a_2=\cdots=a_n=0_K$ .

Autrement dit toute combinaison linéaire nulle des vecteurs $v_1, \ldots, v_n$ a nécessairement des coefficients tous nuls, c'est-à-dire que la seule combinaison linéaire nulle de ces vecteurs est la combinaison linéaire triviale.

La famille $(v_1, \ldots, v_n)$ est alors dite libre.

Dans le cas contraire, les vecteurs sont dits linéairement dépendants et ainsi $v_1, \ldots, v_n$ sont linéairement dépendants si par définition:

$\exists (a_1, \ldots, a_n)\in K^n\backslash \{0\}, \quad a_1.v_1+a_2.v_2+\cdots+a_n.v_n=0_E$ .

Cela signifie qu'il existe des scalaires non tous nuls tels que la combinaison linéaire de $v_1, \ldots, v_n$ associée soit nulle.

Dans ce cas, la famille $(v_1, \ldots, v_n)$ est dite liée.

Remarque: le zéro à droite est le vecteur nul, pas le zéro du corps.

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel, et soit $(v_i)_{i\in I}$ une famille de vecteurs de $E$ . La famille est libre (ou les vecteurs de la famille sont linéairement indépendants) si pour toute famille finie $(a_j)_{j\in J}$ d'éléments de $K$ dont l'ensemble d'indices $J$ est inclus dans $I$ ,

$\sum_{j \in J} a_j.v_j = 0_E\Rightarrow (\forall j\in J, a_j=0_K) \,$ .

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel, et soit $(v_i)_{i\in I}$ une famille de vecteurs de $E$ . La famille est liée (ou les vecteurs de la famille sont linéairement dépendants) s'il existe une famille finie $(a_j)_{j\in J}$ d'éléments de $K$ non nuls telle que

$\sum_{j \in J} a_j.v_j = 0_E \,$

où l'ensemble d'indices $J$ est un sous-ensemble fini non vide de $I$ .

Nous définirions de même la notion de partie libre ou liée. Une partie $A$ de $E$ est alors libre si et seulement si la famille $(a)_{a\in A}$ est libre et une partie $A$ de $E$ est liée si et seulement si la famille $(a)_{a\in A}$ est liée.

Une famille est liée si et seulement si l'un de ses éléments appartient au sous-espace vectoriel engendré par les autres vecteurs de la famille.

Résultat important: Une partie libre de vecteurs d'un espace vectoriel forme une partie basique de l'espace vectoriel engendré par la partie.

Exemples

Exemple 1

Les vecteurs $(1,1)$ et $( - 3,2)$ dans $\mathbb{R}^2$ sont linéairement indépendants.

Démonstration

Soit $a$ et $b$ deux nombres réels tels que

$a \left( 1, 1 \right) + b \left( -3, 2 \right) = \left( 0, 0 \right)$

Alors

$\left( a - 3b, a + 2b\right) = \left(0, 0\right)$ et

$\ a - 3b = 0$ et $\ a + 2b = 0$ .

Ces deux relations nous donnent immédiatement $a = 0$ et $b = 0$ .

Autre démonstration utilisant les déterminants

Une autre méthode utilise le fait que $n$ vecteurs de $\mathbb{R}^n$ sont linéairement dépendants si et seulement si le déterminant de la matrice obtenue en plaçant les composantes des vecteurs en colonne est nulle.

Dans ce cas, la matrice formées par les composantes des vecteurs s'écrit:

$A = \begin{pmatrix}1&-3\\1&2\end{pmatrix}. \,$

Le déterminant de cette matrice est:

$\det(A) = 1\cdot2 - 1\cdot(-3) = 5 \ne 0.$

Puisque le déterminant de cette matrice est non nul, les vecteurs $(1,1)$ et $( - 3,2)$ sont linéairement indépendants. Cette méthode peut seulement être appliquée lorsque le nombre de vecteurs est égal au nombre de composantes des vecteurs.

Exemple 2

Soit $E=\mathbb{R}^n$ et considérons les éléments suivants de $E$ :

$\begin{matrix} \mathbf{e}_1 & = & (1,0,0,\ldots,0) \\ \mathbf{e}_2 & = & (0,1,0,\ldots,0) \\ & \vdots \\ \mathbf{e}_n & = & (0,0,0,\ldots,1).\end{matrix}$

Alors $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\ldots, \mathbf{e}_n$ sont linéairement indépendants.

Démonstration

Supposons que $a 1$ , $a 2$ , ..., $a n$ soient des réels tels que :

$a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 + \cdots + a_n \mathbf{e}_n = 0 \,$

Donc

$a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 + \cdots + a_n \mathbf{e}_n = (a_1 ,a_2 ,\ldots, a_n) \,$

Et ainsi

$\forall i\in \{1,\ldots, n\}, a_i=0$ .

Exemple 3

Soit $\mathcal{F}$ l'espace vectoriel de toutes les fonctions réelles d'une variable réelle.

Alors les fonctions $t\mapsto e^t$ et $t\mapsto e^{2t}$ de $\mathcal{F}$ sont linéairement indépendantes.

Démonstration

Supposons que $a$ et $b$ soient des nombres réels tels que

$a(t\mapsto e^t)+b(t\mapsto e^{2t})=(t\mapsto 0)$

Alors

$\forall t\in \mathbb{R}, ae^{t}+be^{2t}=0$

Nous voulons montrer que $a = 0$ et $b = 0$ ;

Dans ce but, divisons pat $e t$ (qui n'est jamais nul) et soustrayons $a$ pour obtenir:

$\forall t\in \mathbb{R}, be^t=-a$

En d'autres termes, la fonction $t\mapsto be^t$ doit être constante, ce qui ne peut se produire que lorsque $b = 0$ . Il s'ensuit que $a$ est aussi nul.

Espace projectif des dépendances linéaires

Une relation de dépendance linéaire de $n$ vecteurs $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n$ peut être représentée par un $n$ -uplet $(a_1, \ldots, a_n)$ de $n$ scalaires, non tous nuls, tels que

$a_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n=0. \,$

Si une telle relation de dépendance linéaire existe, alors les $n$ vecteurs sont linéairement dépendants. Il est alors possible d'identifier deux relations de dépendances linéaires si l'une est multiple non nul de l'autre relation, parce que dans ce cas les deux correspondent à la même dépendance linéaire des vecteurs entre eux. Sous, cette identification, l'ensemble des $n$ -uplets décrivant les dépendances linéaires des vecteurs $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n$ est un espace projectif.

Voir aussi

Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Colinéarité • Indépendance linéaire • Famille libre • Rang • Famille génératrice • Base • Théorème de la base incomplète
Sous-espace	Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension d'un espace vectoriel • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

L'orthogonalité
Les matroïdes (paragraphe généralisation du concept)
L'indépendance algébrique

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