Independance algebrique

Independance algebrique

Indépendance algébrique

En algèbre, l'indépendance algébrique d'un ensemble sur un corps décrit le fait que ses éléments ne sont pas racines d'un polynôme à coefficients dans ce corps.

Définition

Soient L un corps, S un sous-ensemble de L et K un sous-corps de L. On dit que S est algébriquement indépendant sur K si les éléments de S ne sont racines d'aucun polynôme non trivial à coefficients dans K.

En d'autres termes, pour tout suite finie (\alpha_1, \ldots ,\alpha_n) d'éléments distincts de S et tout polynôme non-trivial P(x_1, \ldots ,x_n) à coefficients dans K on a

P(\alpha_1, \dots ,\alpha_n) \ne 0.

En particulier, un ensemble à un seul élément {α} est algébriquement indépendant sur K si et seulement si α est transcendant sur K.

Exemples

Le sous-ensemble \{ \sqrt {\pi};2\pi +1 \} du corps des nombres réels \mathbb R n'est pas algébriquement indépendant du corps des nombres rationnels \mathbb Q puisque le polynôme P(x_1,x_2)=2x^2_1-x_2+1 n'est pas trivial et à coefficients dans \mathbb Q et P(\sqrt {\pi},2\pi +1)=0.

Le théorème de Lindemann-Weierstrass peut souvent être utilisé pour prouver que certains ensembles sont algébriquement indépendants sur \mathbb Q.

On ne sait pas si l'ensemble {π,e} est algébriquement indépendant sur \mathbb Q. Yu Nesterenko a prouvé en 1996 que {π,eπ,Γ(1 / 4)} l'est.

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