Dodécaèdrique

Dodécaèdrique

Dodécaèdre

Dodécaèdre
Dodécaèdre
Type Polyèdre régulier
Faces Pentagone
Éléments :
 · Faces
 · Arêtes
 · Sommets
 · Caractéristique		  
12
30
20
2
Faces par sommet 3
Sommets par face 5
Isométries
Dual Icosaèdre
Propriétés Deltaèdre régulier et convexe

Un dodécaèdre est un solide composé de 12 faces. Le préfixe dodéca-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces. Certains dés ont une forme de dodécaèdre.

Dodécaèdre régulier

Un dodécaèdre régulier est un solide de Platon composé de faces pentagonales, dont 3 se rejoignent à chaque sommet.

Le groupe des isométries directes du dodécaèdre régulier est isomorphe à A5 (groupe alterné sur 5 éléments). Le groupe de ses isométries est isomorphe à A_5 \times Z/2Z.

Les coordonnées canoniques pour un dodécaèdre centré sur l'origine :

(0, \pm \frac{1}{\varphi}, \pm \varphi),
(\pm \frac{1}{\varphi}, \pm \varphi, 0),
(\pm \varphi, 0, \pm \frac{1}{\varphi}),
(\pm1, \pm1, \pm1),

où \varphi = {{1+ \sqrt5} \over 2} est le nombre d'or.

Les coordonnées du centre des arêtes :

(\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{\varphi}{2}, \pm \frac{\varphi + 1}{2}),
(\pm \frac{\varphi + 1}{2}, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{\varphi}{2}),
(\pm \frac{\varphi}{2}, \pm \frac{\varphi + 1}{2}, \pm \frac{1}{2}),
(0, \pm \varphi, 0),
(\pm \varphi,0, 0),
(0, 0, \pm \varphi),


Si a est la longueur d'une arête :

La surface est égale à :
A=3\sqrt{25+10\sqrt5}a^2=3\sqrt{5(3+4\varphi)}a^2

et le volume à :

V=\begin{matrix}{1\over4}\end{matrix}(15+7\sqrt5)a^3=(2+\begin{matrix}{7\over2}\end{matrix}\varphi)a^3

L'angle dièdre entre deux faces vaut :

\arccos\frac{-1}{\sqrt{5}} = \arccot-\begin{matrix}{1\over2}\end{matrix}

soit environ 116°33'54.

Patron du dodécaèdre régulier

Autres dodécaèdres remarquables

Archéologie


Solides géométriques
Les polyèdres
Les solides de Platon
Tétraèdre - Cube - Octaèdre - Icosaèdre - Dodécaèdre
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