- Graphe dodécaédrique rhombique
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Graphe dodécaédrique rhombique Nombre de sommets 14 Nombre d'arêtes 24 Distribution des degrés 3 (8 sommets)
4 (6 sommets)Rayon 4 Diamètre 4 Maille 4 Automorphismes 48 Nombre chromatique 2 Indice chromatique 4 Propriétés Planaire modifier 
Le graphe dodécaédrique rhombique est, en théorie des graphes, un graphe possédant 14 sommets et 24 arêtes.
Sommaire
Propriétés
Propriétés générales
Il existe treize graphes correspondant aux squelettes des treize solides de Catalan, les polyèdres duaux des solides d'Archimède. Le graphe dodécaédrique rhombique est l'un d'eux. Les douze autres sont le graphe hexacontaédrique trapézoïdal, le graphe icositétraédrique trapézoïdal, le graphe hexakioctaédrique, le graphe hexaki-icosaédrique, le graphe hexacontaédrique pentagonal, le graphe icositétraédrique pentagonal, le graphe pentakidodécaédrique, le graphe triacontaédrique rhombique, le graphe triakioctaédrique, le graphe tétrakihexaédrique, le graphe triaki-icosaédrique et le graphe triakitétraédrique.
Le diamètre du graphe dodécaédrique rhombique, l'excentricité maximale de ses sommets, est 4, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 4 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 4. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.
Coloriage
Le nombre chromatique du graphe dodécaédrique rhombique est 2. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 2 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
L'indice chromatique du graphe dodécaédrique rhombique est 4. Il existe donc une 4-coloration des arêtes du graphe tels que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
Il est possible de compter les colorations distinctes du graphe dodécaédrique rhombique. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisé. C'est une fonction polynomiale et le polynôme qui lui est associé est qualifiée de polynôme chromatique. Ce polynôme de degré 14 admet pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 2. Il est égal à : (x − 1)x(x12 − 23x11 + 253x10 − 1759x9 + 8615x8 − 31361x7 + 87205x6 − 187127x5 + 308232x4 − 380364x3 + 333138x2 − 184963x + 48831).
Propriétés algébriques
Le groupe d'automorphismes du graphe dodécaédrique rhombique est d'ordre 48.
Le polynôme caractéristique du graphe dodécaédrique rhombique est : (x − 2)3x6(x + 2)3(x2 − 12).
Voir aussi
Liens internes
Liens externes
Références
Catégorie :- Graphe remarquable
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