Décomposition des idéaux premiers dans les extensions galoisiennes

En mathématiques, l'interaction entre le groupe de Galois $G\,$ d'une extension galoisienne de corps de nombres $L / K\,$ (ou de corps de nombres p-adiques, ou de corps de fonctions), et la manière dont les idéaux premiers $P\,$ de l'anneau des entiers algébriques $O_K\,$ factorisent sous forme de produits d'idéaux premiers de $O_L\,$ , est à la base de nombreux développement fructueux en théorie algébrique des nombres.

Le cas d'une extension non nécessairement galoisienne est traitée dans l'article Décomposition des idéaux premiers. Les notions d'extension ramifiée, d'extension décomposée y sont envisagées ; ces notions doivent certainement être familière pour aborder la lecture du présent article. Dans le cas d'une extension galoisienne, la structure supplémentaire se traduit au niveau de ces propriétés, via, certains sous-groupes du groupe de Galois : le groupe de décomposition et le groupe d'inertie, mais aussi les groupes de ramification supérieurs.

Ces notions sont quelquefois attribuées à David Hilbert par l'appellation théorie d'Hilbert. Il existe une analogie géométrique, la ramification des surfaces de Riemann, qui est plus simple du fait qu'une seule sorte de sous-groupe de $G\,$ doit être considéré, plutôt que deux. Ceci était certainement familier avant Hilbert^{[réf. nécessaire]}.

Les propriétés fondamentales

Sur les indices

Soit la factorisation d'un idéal premier P de O_K dans O_L :

$PO_L = \prod_{1\leq i\leq g} P_{j}^{e_j}\,$

comme un produit d'idéaux premiers distincts $P_{j} O_{L}\,$ , avec les indices de ramification $e_j\,$ , alors $G\,$ agit transitivement sur $P_j\,$ . C’est-à-dire, les facteurs idéaux premiers de P dans L forment une orbite unique sous les automorphismes de L sur K. L'unicité de la décomposition en produit d'idéaux premiers permet alors de montrer que l'indice de ramification $e_j=e\,$ est indépendant de j. De même pour les degrés d'inertie $f j$ , en regardant cette fois l'action du groupe de Galois sur les corps résiduels (on explique plus en détail ci-dessous cette action, ce qui est plus technique). Ces deux assertions sont fausses en général pour les extensions non galoisiennes.

On obtient alors la relation suivante

[L : K] = n = e f g

où g est le nombre d'idéaux premiers distincts intervenant dans la décomposition de l'idéal P.

Théorie de Galois

Cependant, la relation obtenue sur les indices ne traduit qu'une petite partie de la richesse introduite par la structure galoisienne. En effet, si g est un élément du groupe de Galois, alors g agit sur L en laissant K invariant, et, par restriction, O_L en laissant O_K invariant. Un idéal premier P_i de O_L au-dessus d'un idéal premier P de O_K étant donné, on vérifie facilement que l'action passe au quotient :

$g: O_L/P_i\rightarrow O_L/g(P_i)$

est un isomorphisme de O_K/P-espaces vectoriels entre les corps résiduels. Pour obtenir un automorphisme, il est intéressant de se restreindre au cas où g(P_i)=P_i. On appelle groupe de décomposition, noté D_{P_i} de l'idéal P_i l'ensemble des éléments du groupe de Galois qui vérifient cette relation. La relation fondamentale en termes de théorie de Galois devient alors :

$1\rightarrow I_{P_i}\rightarrow D_{P_i}\rightarrow Gal((O_L/P_i)/(O_K/P)\rightarrow 1$

où le morphisme de droite est celui qu'on vient de définir. Sa surjectivité constitue un théorème. Quant à son noyau, on le définit comme étant le groupe d'inertie. Ces objets contiennent l'information qui était codé par les indices de ramification et degré d'inertie dans le cas non galoisien : le cardinal du groupe d'inertie est l'indice de ramification, celui du groupe de décomposition est le produit du degré d'inertie et de l'indice de ramification

Application de la correspondance de Galois

Les sous-corps correspondant, par la correspondance de Galois, aux sous-groupes qu'on vient de définir, admettent une interprétation arithmétique simple : le groupe de décomposition correspond à l'extension totalement décomposée maximale, et le groupe d'inertie à l'extension non ramifiée maximale.

Le symbole d'Artin

Dans le cas d'une extension non ramifiée en un premier P_i, le groupe d'inertie est trivial, comme remarqué précédemment. La relation fondamentale devient alors un isomorphisme entre le groupe de décomposition en P_i et le groupe de Galois de l'extension des corps résiduels. Dans le cas où les corps résiduels sont finis, ce qui est vrai en particulier pour les corps de nombres et les corps de nombres p-adiques, le groupe de Galois de l'extension de corps résiduels est cyclique et admet un générateur privilégié : l'endomorphisme de Frobenius. Son image dans le groupe de décomposition est alors appelé symbole d'Artin pour le premier P_i, et noté $\left(\frac{P_i}{L/K}\right)$ . C'est un objet à la base de la théorie des corps de classes.

Exemple — les entiers de Gauss

Ce paragraphe décrit la séparation des idéaux premiers dans l'extension de corps $\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}\,$ . C’est-à-dire, nous prenons $K = \mathbb{Q}\,$ et $L = \mathbb{Q}(i)\,$ , donc $O_{K}\,$ est simplement $\mathbb{Z}\,$ , et $O_{L} = \mathbb{Z}[i]\,$ est l'anneau des entiers de Gauss. Bien que ce cas est loin d'être représentatif — après tout, $\mathbb{Z}[i]\,$ possède une décomposition en nombres premiers unique — il expose beaucoup de possibilités de la théorie.

En écrivant $G\,$ pour le groupe de Galois de $\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}\,$ , et $\sigma\,$ pour l'automorphisme de conjugaison complexe dans $G\,$ , il existe trois cas à considérer.

Le nombre premier p = 2

Le nombre premier 2 de $\mathbb{Z}\,$ se ramifie dans $\mathbb{Z}[i]\,$ :

$(2) = (1+i)^2\,$ ,

donc ici, l'index de ramification est e = 2. Le corps de résidus est

$O_{L} / (1+i)O_{L}\,$

qui est le corps avec deux éléments. Le groupe de décomposition doit être égal à tous les $G\,$ , puisqu'il existe seulement un nombre premier $\mathbb{Z}[i]\,$ au-dessus de 2. Le groupe d'inertie est aussi tous les $G\,$ , puisque

$a + bi \equiv a - bi \pmod {(1+i)}\,$ pour tout entiers a et b.

En fait, 2 est le seul nombre premier qui se ramifie dans $\mathbb{Z}[i]\,$ , puisque chaque nombre premier qui se ramifie doit diviser le discriminant de $\mathbb{Z}[i]\,$ , qui est $-4\,$ .

Nombres premiers p ≡ 1 mod 4

Tout nombre premier $p \equiv 1\,$ mod 4 se sépare en deux idéaux premiers distincts dans $\mathbb{Z}[i]\,$ ; ceci est une manifestation du théorème de Fermat sur les sommes de deux carrés. Par exemple,

$(13) = (2 + 3i)(2 - 3i)\,$ .

Les groupes de décomposition dans ce cas sont tous les deux le groupe trivial {1}; l'automorphisme $\sigma\,$ aiguille vraiment les deux nombres premiers $(2 + 3i)\,$ et $(2 - 3i)\,$ , donc il ne peut pas être dans le groupe de décomposition de chaque nombre premier. Le groupe d'inertie, étant un sous-groupe du groupe de décomposition, est aussi le groupe trivial. Il existe deux corps de résidus, un pour chaque nombre premier,

$O_{L} / (2 \pm 3i)O_{L}\,$ ,

qui sont tous les deux isomorphes au corps fini avec 13 éléments. L'élément de Frobenius est l'automorphisme trivial; ce qui signifie que

$(a + bi)^{13} \equiv a + bi\,$

modulo $(2 \pm 3i)\,$ , pour tous les entiers a et b.

Nombres premiers p ≡ 3 mod 4

Tout nombre premier $p \equiv 3 mod 4\,$ reste inerte dans $\mathbb{Z}[i]\,$ ; c’est-à-dire, il ne se sépare pas. Par exemple, (7) reste premier dans $\mathbb{Z}[i]\,$ . Dans cette situation, le groupe de décomposition sont tous les $G\,$ , de nouveau parce qu'il existe seulement un seul facteur premier. Néanmoins, cette situation diffère du cas $p = 2\,$ , parce que maintenant $\sigma\,$ n'agit pas de manière triviale sur le corps des résidus

$O_{L} / (7)O_{L}\,$ ,

qui est le corps fini avec $7^2 = 49\,$ éléments. Par exemple, la différence entre $1 + i\,$ et $\sigma(1 + i) = 1 - i\,$ est $2i\,$ , qui est certainement non divisible par 7. Par conséquent, le groupe d'inertie est le groupe trivial {1}. Le groupe de Galois de ce corps de résidus sur le sous-corps $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\,$ est d'ordre 2, et est engendré par l'image de l'élément de Frobenius. Le Frobenius est aucun autre que $\sigma\,$ ; ce qui signifie que

$(a + bi)^7 \equiv a - bi\,$

modulo 7, pour tous les entiers a et b.

Résumé

Nombre premier dans Z	Séparation dans Z[i]	Groupe d'inertie	Groupe de décomposition
2	se ramifie avec index 2	G	G
p ≡ 1 mod 4	se sépare en deux facteurs distincts	1	1
p ≡ 3 mod 4	reste inerte	1	G

Un exemple

Considérons de nouveau le cas des entiers de Gauss. Nous prenons $\theta\,$ comme unité imaginaire $i\,$ , avec le polynôme minimal $H(X) = X^2 + 1\,$ . Puisque $\mathbb{Z}[i]\,$ est l'anneau plein des entiers de $\mathbb{Q}(i)\,$ , le conducteur est l'idéal unité, donc il n'existe pas de nombres premiers exceptionnels.

Pour $P = (2)\,$ , nous devons travailler dans le corps $\mathbb{Z}/(2)\mathbb{Z}\,$ , qui contient pour factoriser le polynôme $X^2 + 1 \pmod 2\,$ :

$X^2 + 1 = (X+1)^2 \pmod 2\,$ .

Par conséquent, il existe seulement un facteur premier, d'inertie de degré 1 et d'index de ramification 2, et ceci est donné par

$Q = (2)\mathbb{Z}[i] + (i+1)\mathbb{Z}[i] = (1+i)\mathbb{Z}[i]\,$

Le cas suivant, P = (p) pour un nombre premier $p \equiv 3 \pmod 4\,$ , plus concrètement, nous prendrons P = (7). Le polynôme $X^2 + 1\,$ est irréductible modulo 7. Par conséquent, il existe seulement un facteur premier, d'inertie de degré 2 et d'index de ramification 1, et ceci est donné par

$Q = (7)\mathbb{Z}[i] + (i^2 + 1)\mathbb{Z} Z[i] = 7\mathbb{Z} Z[i]$ .

Le dernier cas est P = (p) pour un nombre premier $p \equiv 1 \pmod 4\,$ ; nous prendrons de nouveau P = (13). Cette fois, nous avons la factorisation

$X^2 + 1 = (X + 5)(X - 5) \pmod{13}\,$ .

Par conséquent, il existe deux facteurs premiers, tous les deux avec un degré d'inertie et un index de ramification égal à 1. Ils sont donnés par

$Q_1 = (13)\mathbb{Z}[i] + (i + 5)\mathbb{Z}[i] = \cdots = (2+3i)\mathbb{Z}[i]$

$Q_2 = (13)\mathbb{Z}[i] + (i - 5)\mathbb{Z}[i] = \cdots = (2-3i)\mathbb{Z}[i]$ .

Références

(en) Jürgen Neukirch (de), Algebraic number theory [détail des éditions]

Portail des mathématiques

Catégories :

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Décomposition des idéaux premiers dans les extensions galoisiennes de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

Decomposition des ideaux premiers dans les extensions galoisiennes — Décomposition des idéaux premiers dans les extensions galoisiennes En mathématiques, l interaction entre le groupe de Galois d une extension galoisienne de corps de nombres (ou de corps de nombres p adiques, ou de corps de fonctions), et la… … Wikipédia en Français
Décomposition Des Idéaux Premiers Dans Les Extensions Galoisiennes — En mathématiques, l interaction entre le groupe de Galois d une extension galoisienne de corps de nombres (ou de corps de nombres p adiques, ou de corps de fonctions), et la manière dont les idéaux premiers de l anneau des entiers algébriques … Wikipédia en Français
Séparation des idéaux premiers dans les extensions galoisiennes — Décomposition des idéaux premiers dans les extensions galoisiennes En mathématiques, l interaction entre le groupe de Galois d une extension galoisienne de corps de nombres (ou de corps de nombres p adiques, ou de corps de fonctions), et la… … Wikipédia en Français
Decomposition des ideaux premiers — Décomposition des idéaux premiers En théorie algébrique des nombres, le théorème fondamental de l arithmétique, valable sur les entiers relatifs, peut ne plus être vrai si on considère des entiers algébriques à la place. Toutefois, le théorie des … Wikipédia en Français
Décomposition Des Idéaux Premiers — En théorie algébrique des nombres, le théorème fondamental de l arithmétique, valable sur les entiers relatifs, peut ne plus être vrai si on considère des entiers algébriques à la place. Toutefois, le théorie des anneaux de Dedekind montre que ce … Wikipédia en Français
Décomposition des idéaux premiers — En théorie algébrique des nombres, le théorème fondamental de l arithmétique, valable sur les entiers relatifs, peut ne plus être vrai si on considère des entiers algébriques à la place. Toutefois, le théorie des anneaux de Dedekind montre que ce … Wikipédia en Français
Groupe de décomposition — Décomposition des idéaux premiers dans les extensions galoisiennes En mathématiques, l interaction entre le groupe de Galois d une extension galoisienne de corps de nombres (ou de corps de nombres p adiques, ou de corps de fonctions), et la… … Wikipédia en Français
Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… … Wikipédia en Français
Histoire des groupes de Galois — Groupe de Galois Évariste Galois 1811 1832 En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre dans le cadre de la théorie de Galois, le groupe de Galois d une extension de corps L sur un corps K est le groupe des automorphismes de corps de L… … Wikipédia en Français
Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Décomposition des idéaux premiers dans les extensions galoisiennes

Sommaire