Sous-espace supplémentaire

Sous-espace supplémentaire

En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel sont supplémentaires dans cet espace si tout vecteur de l'espace se décompose de façon unique en une somme d'un vecteur de chacun des deux sous-espaces. L'existence pour tout vecteur d'une telle décomposition revient à dire que la somme des deux sous-espaces est égale à l'espace tout entier, et l'unicité équivaut à ce que cette somme soit directe (ce qui se caractérise par le fait que l'intersection des deux sous-espaces est réduite au vecteur nul).

Sommaire

Confusion fréquente

La notion de supplémentaire est souvent confondue avec la notion ensembliste de complémentaire qui est très différente. Les différences entre les deux notions sont nombreuses. Tout d'abord, il y a unicité du complémentaire, alors que pour un sous-espace donné, il existe généralement une infinité de supplémentaires différents. Ensuite l'intersection d'un sous-espace avec un supplémentaire n'est pas vide mais contient le vecteur nul (et uniquement celui-là). Enfin, la réunion d'un sous-espace et d'un supplémentaire n'est pas égale à tout l'espace, plus subtilement, elle engendre cet espace. De façon intuitive, deux sous-espaces supplémentaires contiennent exactement l'information dont on a besoin pour reconstituer l'espace entier.

Définition

Dans toute la suite de l'article, F et G sont deux sous-espaces vectoriels d'un même espace E.

Définition — F et G sont supplémentaires (dans E), ce que l'on note F\oplus G=E, si tout vecteur de E s'écrit de manière unique comme la somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G :

\forall x\in E,\quad\exists ! (u,v)\in F\times G,\quad x=u+v.

Critères

Théorème — Les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. F et G sont supplémentaires,
  2. l'application somme \scriptstyle F\times G\to E,\ (u,v)\mapsto u+v est bijective, autrement dit (puisqu'elle est toujours linéaire sur l'espace vectoriel produit FxG) c'est un isomorphisme d'espaces vectoriels,
  3. E = F + G et F ∩ G = { 0 },
  4. il existe un projecteur q de E (c'est-à-dire un endomorphisme de E vérifiant q o q = q) de noyau F et d'image G,
  5. il existe deux projecteurs p et q de E dont la somme vaut l'identité et dont les images respectives sont F et G,
  6. il existe une base de F et une base de G dont la juxtaposition forme une base de E.
Démonstration

Montrons que 1, 2, 3 sont équivalents, que 2\Rightarrow 5\Rightarrow 4\Rightarrow 3 (ainsi 1, 2, 3, 4, 5 seront équivalents), et que 6 équivaut, via 3, à tous les autres.

1\Leftrightarrow 2 : La définition de « F et G sont supplémentaires  » exprime exactement la bijectivité de l'application somme : la surjectivité correspond à l'existence, pour tout x, d'un couple (u,v), et l'injectivité, à l'unicité de (u,v).
2\Leftrightarrow 3 : la condition E = F + G exprime, à nouveau, la surjectivité de l'application somme. D'autre part, comme cette application est linéaire, elle est injective si et seulement si son noyau est réduit au vecteur nul de l'espace produit F x G, c'est-à-dire au couple (0,0). Or ce noyau, a priori, est l'ensemble des (u,v) tels que u appartienne à F, v à G, et u+v=0. C'est donc l'ensemble des couples (u,-u) tels que u appartienne à F∩G, si bien qu'il est réduit à (0,0) si et seulement si F ∩ G = { 0 }.
2\Rightarrow 5 : Si l'application somme est un isomorphisme, notons, pour tout x de E, (p(x),q(x)) l'unique couple de FxG tel que p(x)+q(x)=x. Ainsi, p et q sont deux applications de E dans E, leur somme est l'identité, elles sont linéaires (car issues des deux composantes de l'isomorphisme réciproque), et l'image de p est incluse dans F (et celle de q, dans G). De plus, pour tout vecteur u de F, la décomposition u=u+0 montre que p(u)=u. On en déduit d'une part que l'image de p est F tout entier, et d'autre part, que sur cette image, p vaut l'identité. Par conséquent p est un projecteur d'image F. (De même, q est un projecteur d'image G.)
5\Rightarrow 4 : Si p et q sont deux projecteurs de somme l'identité alors le noyau de q est égal à l'image de p. En effet, \scriptstyle q(x)=0\Leftrightarrow p(x)=x\Leftrightarrow x\in{\rm Im}(p), le dernier \scriptstyle\Leftarrow résultant du fait que p est idempotent.
4\Rightarrow 3 est détaillé dans l'article Projecteur.
3\Rightarrow 6 et même mieux : d'une part, si F+G=E alors la juxtaposition d'une famille génératrice de F et d'une famille génératrice de G engendre E ; d'autre part, si F ∩ G = { 0 } alors pour toutes familles libres \scriptstyle(e_i)_{i\in I} de F et \scriptstyle(e_j)_{j\in J} de G (supposées indexées par deux ensembles d'indices I et J disjoints), la famille \scriptstyle(e_k)_{k\in I\cup J} est libre, car si \scriptstyle\sum_{k\in I\cup J}\lambda_ke_k=0 alors, de \scriptstyle\sum_{i\in I}\lambda_ie_i=-\sum_{j\in J}\lambda_je_j\in F\cap G=\{0\} et du fait que chacune des deux sous-famille est libre, on déduit que tous les λk sont nuls.
6\Rightarrow 3 et même mieux : d'une part, s'il existe une famille de F et une famille de G dont la juxtaposition engendre E alors E=F+G ; d'autre part (par un calcul analogue au précédent) s'il existe une base de F et une base de G dont la juxtaposition soit libre alors F ∩ G = { 0 }.

En dimension finie, on en déduit d'autres critères, dont le plus utile est le suivant :

Si E est de dimension finie alors F et G sont supplémentaires si et seulement si F ∩ G = { 0 } et dim(F) + dim(G) = dim(E).

Propriétés

Le critère 6 fournit un procédé simple pour construire deux sous-espaces supplémentaires : couper une base de E en deux parties complémentaires et prendre les sous-espaces engendrés par ces deux parties. En termes de base, on réduit ainsi la notion de supplémentaire à celle de complémentaire. Si on part d'une base de F et qu'on utilise le théorème de la base incomplète pour construire une base de E, les vecteurs qu'on a, ce faisant, ajoutés à la base de F engendrent un supplémentaire de F. Ainsi,

Tout sous-espace F de E possède des supplémentaires[1].

Le critère 4 permet de montrer que tout supplémentaire G de F est isomorphe à l'espace vectoriel quotient E / F. Ainsi,

tous les supplémentaires de F sont isomorphes.

Ils ont donc la même dimension, finie ou infinie. Cette dimension commune est appelée codimension de F.

Supplémentaire topologique

Dans un espace vectoriel normé[2] ou plus généralement dans un espace vectoriel topologique[réf. souhaitée] E, deux supplémentaires algébriques F et G sont dits supplémentaires topologiques si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée :

  • l'isomorphisme algébrique naturel entre F×G et E est un homéomorphisme ;
  • F et G sont fermés et la restriction à G de la projection de E sur E/F est un homéomorphisme ;
  • F et G sont fermés et la projection de E sur F est continue.

Si E est un espace de Banach, il suffit pour cela que les supplémentaires algébriques F et G soient fermés[2].

Le problème de déterminer, parmi les sous-espaces fermés de tel ou tel espace de Banach E, lesquels possèdent un supplémentaire topologique, a été très étudié[3]. Ils en possèdent tous si et seulement si[4] E est topologiquement isomorphe à un espace de Hilbert. Il est isométriquement isomorphe à un Hilbert si[5] et seulement si tout sous-espace fermé est l'image d'un projecteur de norme 1.

Notes et références

  1. ↑ Dans le cas où la dimension n'est pas finie, cette construction utilise le lemme de Zorn (indispensable pour prouver l'existence d'une base, et a fortiori pour le théorème de la base incomplète), et donc l'axiome du choix qui lui est équivalent.
  2. ↑ a et b (en) Eric W. Weisstein, « Complemented Subspace », MathWorld
  3. ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Complementary Subspace Problem », MathWorld
  4. ↑ (en) J. Lindenstrauss (de) et L. Tzafriri, « On the complemented subspaces problem », dans Israel J. Math., vol. 9, 1971, p. 263–269 , MR0276734
  5. ↑ (en) S. Kakutani (en), « Some characterizations of Euclidean space », dans Jap. J. Math, vol. 16, 1939, p. 93–97 
v · d · m
Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité Mathématiques
Sous-espace Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Sous-espace supplémentaire de Wikipédia en français (auteurs)

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