Sous-espace caractéristique

Sous-espace caractéristique

Définitions

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. Soit \ \lambda \in \mathrm{sp}(u)

  • on appelle sous-espace caractéristique, sous-espace spectral, ou encore espace propre généralisé de \ u associé à la valeur propre \ \lambda le sous-espace : N_{\lambda}(u) = \ker\left[ (u- \lambda Id)^m \right] , Id étant l'application identité et m la multiplicité de λ dans le polynôme minimal de l'endomorphisme u. Cet exposant m est celui pour lequel le noyau dans la formule atteint sa dimension maximale : si on le remplace par une valeur plus grande, le noyau ne change plus. Pour cette raison on pourra aussi prendre la multiplicité de λ dans le polynôme caractéristique, car celle-ci est toujours ≥ m, d'après le théorème de Cayley-Hamilton.
  • \vec{v} \ est un vecteur propre généralisé de u associé à la valeur propre λ s'il existe \ k\geq 1 \ tel que \ \vec{v}\in\ker\left(u-\lambda Id\right)^k\smallsetminus\{\vec{0}\}


Remarque : Cette définition implique que \vec{v}\in N_{\lambda}(u) \ \Longleftrightarrow \ \vec{v} \ est un vecteur propre généralisé de u associé à λ, ou nul.

Intérêt

Les sous-espaces caractéristiques sont utilisés dans la caractérisation de la trigonalisation d'un endomorphisme. En effet un endomorphisme u d'un espace vectoriel E est trigonalisable si et seulement si E est la somme (directe) des sous-espaces caractéristiques de u, c'est-à-dire si et seulement s'il existe une base de E formée de vecteurs propres généralisés de u. Cette caractérisation rejoint celle donnée à l'aide du polynôme caractéristique qui doit être scindé pour que l'endomorphisme soit trigonalisable.

Article détaillé : Réduction de Jordan.


v · d · m
Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité Mathématiques
Sous-espace Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Sous-espace caractéristique de Wikipédia en français (auteurs)

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