- Sous-espace projectif
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En géométrie projective, un sous-espace projectif est défini comme le projeté d'un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel associé. Contrairement à ce qui se passe en géométrie affine, les propriétés sur les dimensions règlent de nombreux problèmes sur les incidences.
Définition
Si
est un sous-espace vectoriel non réduit à
, on peut encore définir comme précédemment l'espace projectif
sur
. Ou alors on peut considérer le sous-ensemble de
formé par les
tels que
, c'est-à-dire l'image
En fait ces deux méthodes sont équivalentes et permettent de définir la notion de sous-espace projectif. Tout sous-espace projectif est défini à partir d'un sous-espace vectoriel.
En particulier on appellera hyperplan projectif tout sous-espace projectif défini à partir d'un hyperplan vectoriel.
Pour toute partie
de
on peut définir le sous-espace projectif engendré par
, comme le plus petit sous-espace projectif de
contenant
; on le notera
.
Il correspond au sous-espace vectoriel engendré par l'image réciproque
de
par la projection canonique :
Propriétés
Les premières propriétés des espaces projectifs s'expriment en termes d' incidence : les résultats sont beaucoup plus clairs que dans le cas vectoriel.
Si
et
sont des sous-espaces projectifs de
, l'intersection
est un sous-espace projectif correspondant au sous-espace vectoriel
de
:
.
D'autre part l'union de deux sous-espaces projectifs n'est pas en général un sous-espace projectif mais on peut considérer le sous-espace projectif engendré par
et
, qui correspond au sous-espace vectoriel somme
:
.
Pour tout couple de sous-espaces projectifs de dimensions finies on a la relation fondamentale :
.
Alors que dans le cas d'un espace affine on a seulement inégalité (voir formule de Grassman).
Application fondamentale de ce résultat : si
est un plan projectif, et si
et
sont des droites projectives, on obtient
. Or l'espace somme
est inclus dans
, donc de dimension inférieure ou égale à 2. On obtient
, c'est-à-dire que deux droites du plan projectif ont toujours au moins un point commun, le point à l'infini.
Autrement dit il n'y a pas de droites parallèles dans un plan projectif, et plus généralement pas de notion de parallélisme en géométrie projective. On voit ici le progrès par rapport à la géométrie affine : la géométrie projective va nous permettre d'éliminer de nombreux cas particuliers dus au parallélisme.
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