Espace propre généralisé
- Espace propre généralisé
-
Sous-espace caractéristique
Définitions
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. Soit 
- on appelle sous-espace caractéristique, sous-espace spectral, ou encore espace propre généralisé de
associé à la valeur propre 
le sous espace : ![N_{\lambda}(u) = \ker\left[ (u- \lambda Id)^m \right]](/pictures/frwiki/101/e8224cadd4f26ac338a0b4b62fb6e616.png)
, Id étant l'application identité et m la multiplicité de λ dans le polynôme caractéristique de l'endomorphisme u.
est un vecteur propre généralisé de u associé à la valeur propre λ s'il existe 
tel que 
Remarque : Cette définition implique que 
est un vecteur propre généralisé de u associé à λ.
Intérêt
Les sous-espaces caractéristiques sont utilisés dans la caractérisation de la trigonalisation d'un endomorphisme. En effet un endomorphisme u d'un espace vectoriel E est trigonalisable si et seulement si E est la somme (directe) des sous-espaces caractéristiques de u, c'est-à-dire si et seulement si il existe une base de E formée de vecteurs propres généralisés de u. Cette caractérisation rejoint celle donnée à l'aide du polynôme caractéristique qui doit être scindé pour que l'endomorphisme soit trigonalisable.
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Catégorie : Application linéaire
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2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Espace propre généralisé de Wikipédia en français (auteurs)
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