Espace propre généralisé et vecteurs propres

Espace propre généralisé et vecteurs propres

Sous-espace caractéristique

Définitions

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. Soit \ \lambda \in \mathrm{sp}(u)

  • on appelle sous-espace caractéristique, sous-espace spectral, ou encore espace propre généralisé de \ u associé à la valeur propre \ \lambda le sous espace : N_{\lambda}(u) = \ker\left[ (u- \lambda Id)^m \right] , Id étant l'application identité et m la multiplicité de λ dans le polynôme caractéristique de l'endomorphisme u.


  • \vec{v} \ est un vecteur propre généralisé de u associé à la valeur propre λ s'il existe \ k\geq 1 \ tel que \ \vec{v}\in\ker\left(u-\lambda Id\right)^k\smallsetminus\{\vec{0}\}


Remarque : Cette définition implique que \vec{v}\in N_{\lambda}(u) \ \Longleftrightarrow \ \vec{v} \ est un vecteur propre généralisé de u associé à λ.


Intérêt

Les sous-espaces caractéristiques sont utilisés dans la caractérisation de la trigonalisation d'un endomorphisme. En effet un endomorphisme u d'un espace vectoriel E est trigonalisable si et seulement si E est la somme (directe) des sous-espaces caractéristiques de u, c'est-à-dire si et seulement si il existe une base de E formée de vecteurs propres généralisés de u. Cette caractérisation rejoint celle donnée à l'aide du polynôme caractéristique qui doit être scindé pour que l'endomorphisme soit trigonalisable.

Article détaillé : Réduction de Jordan.


Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs Colinéarité • Indépendance linéaire • Famille libre • Rang • Famille génératrice • Base • Théorème de la base incomplète Mathématiques
Sous-espace Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension d'un espace vectoriel • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford
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