Probabilités (mathématiques élémentaires)

Pour les articles homonymes, voir Interconnexions entre la théorie des probabilités et les statistiques.

Les probabilités sont nées du désir de prévoir l'imprévisible ou de quantifier l'incertain. Mais il faut avant tout préciser ce qu'elles ne sont pas : elles ne permettent pas de prédire le résultat d'une unique expérience.

Premières explications

Si les probabilités permettent de dire que dans un lancer de dé parfaitement équilibré, le fait d'obtenir 6 est un évènement de probabilité 1/6, elles ne permettent pas de prédire quel sera le résultat du lancer suivant. Le fait que la probabilité soit de 1/6 n'assure pas qu'au cours de 6 lancers, le n°6 apparaisse une fois. Le fait que durant les 100 lancers précédents, le n°6 ne soit jamais apparu n'augmente même pas la chance que le n°6 apparaisse au lancer suivant (on dit que le hasard n'a pas de mémoire). Bref, l'étude des probabilités ne peut pas nous empêcher de rêver au billet gagnant à la loterie.

Les probabilités n'ont de sens qu'avec l'observation de la loi des grands nombres : si on renouvelle une expérience un grand nombre de fois, la fréquence d'apparition d'un évènement est proche de sa probabilité d'apparition.

Si on lance un dé 10000 fois, la fréquence d'apparition du n°6 sera très voisine de 1/6.

L'étude des probabilités s'est alors révélé un outil très puissant pour les organisateurs de jeux, depuis le chevalier de Méré, en passant par le philosophe Pascal et pour finir chez les mathématiciens de la Française des jeux. Qu'importe pour eux que ce soit M. Dupont ou M. Dupuis qui gagne le gros lot, leur étude porte sur le grand nombre de joueurs, quelles sont les sommes misées, quelles sont les sommes gagnées.

Le calcul des probabilités s'est aussi révélé un outil indispensable dans l'étude et la couverture des risques et est à la base de tous nos systèmes d'assurance.

Enfin, le siècle dernier a vu l'apparition d'une approche probabiliste dans le domaine de l'atome.

Les premiers pas dans le domaine des probabilités consistent à se familiariser avec le vocabulaire probabiliste élémentaire, découvrir les modes de calcul d'une probabilité, utiliser un arbre de probabilité, découvrir la notion d'indépendance en probabilité élémentaire, apprendre quelques règles de combinatoire et travailler sur quelques variables aléatoires élémentaires

Principaux éléments

Univers

Lors d'une expérience aléatoire, c'est-à-dire soumise au hasard (de alea (latin) le hasard, les dés), on commence par faire l'inventaire de tous les résultats possibles. L'ensemble de tous les résultats possibles sera appelé l' univers Ω des possibles.

Éventualité

Chaque résultat possible sera appelé une éventualité ω.

Exemple 1 : On lance une pièce. L'univers des possibles est Ω={P; F}.(P pour Pile, F pour face). Le P est une éventualité de ce lancer.

Exemple 2 : On choisit au hasard un réel strictement compris entre 0 et 1 non inclus. L'univers des possibles est Ω =] 0 ; 1[. Le nombre est une des éventualités.

Exemple 3 : On lance 3 pièces successivement. L'univers des possibles est Ω={FFF ; FFP ; FPF ; FPP ; PFF ; PFP ; PPF ; PPP}. La suite de caractères PFP est une éventualité de cette série de lancers.

Évènement

Un ensemble de résultats possibles définit un évènement. C'est un sous-ensemble de l'univers Ω. Il peut être décrit en extension (dans le cas d'un ensemble fini) ou par une description.

Exemple 1: On lance un dé. L'univers est Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. La partie A = {1 ; 2 ; 3} est un évènement décrit en extension. Cet évènement se décrit par la phrase « on obtient au plus 3 en lançant le dé ». Tout lancer de dé donnant comme résultat 1, 2 ou 3 réalise l'évènement A.

Exemple 2 : Dans le choix d'un nombre au hasard entre 0 et 1, l'évènement « on obtient un nombre rationnel » correspond à l'ensemble .

Exemple 3 : On lance 3 pièces successivement. L'évènement « on obtient plus de piles que de faces » correspond à l'ensemble {FPP ; PFP ; PPF ; PPP}.

Évènement particulier

L'univers Ω est appelé évènement certain. Dans un lancer de dé, l'évènement « obtenir un numéro compris entre 1 et 6 » correspond à l'évènement {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, c'est-à-dire à l'évènement certain.

L'ensemble vide ∅ est appelé évènement impossible. dans un lancer de dé, l'évènement « obtenir plus de 7 » correspond à l'évènement {} = ∅, c'est-à-dire l'évènement impossible.

Un évènement qui ne comporte qu'un seul élément ou éventualité est appelé événement élémentaire.

Opération sur les évènements

L'union: l'évènement est réalisé dès que A ou B est réalisé. Dans un lancer de dé, si l'évènement A est « obtenir un nombre pair » et l'évènement B « obtenir un multiple de 3 », l'évènement est l'évènement « obtenir un nombre pair OU un multiple de 3 », c'est-à-dire {2 ; 3 ; 4 ; 6}.

L'intersection: l'évènement est réalisé dès que A et B sont réalisés dans la même expérience. Dans un lancer de dé, si l'évènement A est « obtenir un nombre pair » et l'évènement B « obtenir un multiple de 3 », l'évènement est l'événement « obtenir un nombre pair ET multiple de 3 », c'est-à-dire {6}.

Le contraire: l'évènement contraire de A, noté contient tous les éléments de Ω qui ne sont pas dans A. C'est l'évènement qui est réalisé dès que A n'est pas réalisé. Dans un lancer de dé, si l'évènement A est « obtenir un nombre pair », l'évènement contraire de A, est l'évènement « obtenir un nombre impair ».

Évènements incompatibles

Lorsque deux évènements ont une intersection vide, c'est qu'ils ne peuvent pas être réalisés au cours d'une même expérience. On les appelle alors évènements incompatibles. Dans un lancer de dé, si l'évènement A est « obtenir un multiple de 4 » et l'évènement B « obtenir un multiple de 3 », les évènements A et B sont incompatibles.

Il ne faut pas confondre les événements incompatibles (qui ne peuvent se produire lors d'une même expérience) et évènements indépendants (qui se produisent indépendamment l'un de l'autre).

Maintenant que tout le vocabulaire est en place, il s'agit de quantifier la probabilité de réalisation de chaque évènement.

Probabilité sur un ensemble fini

Construction intuitive

Lorsque l'univers lié à l'expérience aléatoire comporte un nombre fini d'éventualités, on affecte à chaque éventualité une probabilité d'apparition. Il s'agit d'un nombre compris entre 0 et 1. Ces probabilités doivent cependant vérifier une unique contrainte : leur somme doit être égale à 1. Le choix de ces nombres est laissé à la liberté de celui qui tente de modéliser le phénomène aléatoire. La probabilité d'un événement est alors définie comme la somme des probabilités des éventualités qui composent cet événement.

Lors d'un lancé de dé, par exemple, on peut estimer que l'apparition de chaque nombre est équiprobable, c'est-à-dire que la probabilité d'obtenir 1 est égale à celle d'obtenir 2 ou celle d'obtenir 3 etc. La contrainte stipulant que la somme des probabilités doit donner 1 impose alors de prendre pour chaque éventualité une probabilité de 1/6. Pour éviter de long discours on écrira alors p(1) = p(2) = p(3) = p(4) = p(5) = p(6) = 1/6. Mais on pourrait tout autant supposer le dé pipé de telle sorte que la probabilité d'apparition d'une face soit proportionnelle à sa valeur. Ainsi on obtiendrait : p(1) = a, p(2)=2a, p(3)=3a, p(4)=4a, p(5)=5a, p(6)=6a. La contrainte sur la somme des probabilités, qui doit valoir toujours 1, donne comme seule valeur possible pour a, a = 1/21.

Il est certain que choisir une loi de probabilité plutôt qu'une autre est arbitraire, la seule contrainte est que cette modélisation "colle" au mieux à la réalité. Dans le cadre des mathématiques élémentaires, on essaie de se placer au maximum dans un univers équiprobable ou dans un univers dont la probabilité correspond au "bon sens". Pour un lancé de pièce équilibrée, on supposera que p(Pile) = p(Face) = 1/2 alors que dans le cas d'un choix "au hasard d'une personne dans une foule comportant 30 filles et 70 garçons, on prendra p(fille) = 30% et p(garçon)=70%. La science des probabilités a développé par ailleurs des outils permettant par des expériences répétées de valider le modèle de probabilité choisi.

Définition mathématique

En terme mathématique, une probabilité sur un ensemble fini Ω est une application de Ω dans [0;1] vérifiant l'égalité

• .

On définit alors la probabilité de l'événement A comme

Les probabilités sur les événements vérifient alors les propriétés élémentaires suivantes

• p(Ω) = 1
• 
• 
• 

Equiprobabilité

Si on estime que toutes les éventualités sont équiprobables, et si on note Card(Ω), le cardinal de Ω, c'est-à-dire le nombre d'éléments dans Ω, chaque éventualité a une probabilité d'apparition de

• .

La probabilité de l'événement A est alors donnée par la formule

Probabilité sur un ensemble infini

Si l'univers est infini mais dénombrable, on peut parfois continuer à affecter à chaque éventualité une probabilité avec comme condition que la somme infinie des probabilités converge vers 1.

Mais il arrive plus fréquemment que l'on évalue la probabilité de chaque éventualité à zéro et que la seule chose que l'on puisse définir soit la probabilité de certains événements. Ainsi, quand on choisit un nombre réel "au hasard" entre 0 et 10, la probabilité de tomber exactement sur est égale à 0. La seule chose que l'on puisse définir est la probabilité d'obtenir un nombre compris entre 1,4 et 1,5. Cette probabilité est prise égale à 0,01 : on compare la taille de l'intervalle souhaité à la taille de l'intervalle des possibles, en supposant l'équiprobabilité, cette probabilité s'appelle la loi uniforme. Mais d'autre choix sont possibles: c'est la grande famille des lois de probabilités continues dans laquelle on trouve la loi exponentielle, la loi de Gauss, ...

Pour définir des probabilités dans ce cas de figure, il est parfois nécessaire de construire des espaces probabilisables

Voir aussi

Dans le cadre des mathématiques élémentaires

• Arbre de probabilité
• Variables aléatoires élémentaires
• Indépendance en probabilité élémentaire
• Combinatoire

Pour approfondir

• Probabilité
• Espace probabilisable
• Probabilité conditionnelle
• Loi de probabilité
• Variable aléatoire réelle
• Axiomes des probabilités

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