Operations sur les derivees

Operations sur les derivees

Opérations sur les dérivées

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Mathématiques élémentaires
Algèbre
Logique
Arithmétique
Probabilités
Statistiques

Le calcul de la dérivée de certaines fonctions à valeurs réelles ou complexes (ou plus généralement dans un corps topologique) peut être effectué en utilisant un certain nombre d'opérations sur les dérivées, notamment certaines liées aux opérations sur les nombres réels et complexes. Les démonstrations de ces propriétés découlent des opérations sur les limites.

Dans tout l'article, on note f et g deux fonctions qu'on suppose dérivables.

Sommaire

Linéarité

La dérivation est un opérateur linéaire, c'est-à-dire que l'espace des fonctions dérivables est stable par somme et par multiplication de ses éléments par des réels (c'est un espace vectoriel réel), et les relations suivantes sont vérifiées :

\bigl(\alpha f\bigr)'=\alpha f'
\bigl(f+g\bigr)' = f'+g'
\bigl(f-g\bigr)' = f'-g'

Composition

La composition de deux fonctions dérivables est dérivable, là où elle est définie (précisément sur l'image réciproque par f du domaine de définition de g) et se calcule suivant la règle :

(g \circ f)' = f' \cdot (g' \circ f).

Cette règle admet pour conséquence la règle de calcul de l'inverse d'une fonction (on se place sur un intervalle sur lequel f ne s'annule pas), en utilisant le calcul élémentaire de la dérivée de la fonction x\mapsto \tfrac1x :

\left( \dfrac{1}{f} \right)' = -\dfrac{f'}{f^2}

Produit et quotient

Article détaillé : règle du produit.

La dérivation est un opérateur différentiel, c'est-à-dire que l'espace des fonctions dérivables est stable par multiplication, et la formule de Leibniz est vérifiée :

\bigl(fg\bigr)' = f'g + fg'.
Démonstration

On montre la relation en un point x0 appartenant aux domaines de dérivabilité de f et de g. Le taux de variation de fg s'écrit en ce point :

T_{fg}(x,x_0) = \dfrac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}.

À titre d'artifice de calcul, introduisons le terme neutre − f(x)g(x0) + g(x0)f(x) :

T_{fg}(x,x_0) = \dfrac{f(x)g(x) \overbrace{- f(x)g(x_0) + g(x_0)f(x)}^0 - f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}.

En factorisant les termes, on reconnaît les taux de variation de f et g :

T_{fg}(x,x_0) = f(x) \underbrace{\dfrac{g(x) - g(x_0)}{x-x_0}}_{T_g(x, x_0)} + g(x_0) \underbrace{\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}}_{T_f(x, x_0)}.

En passant à la limite, et sachant que la dérivabilité implique la continuité, les trois relations suivantes sont vraies :

\begin{align} \lim_{x\to x_0} T_{f}(x,x_0) &= f'(x_0) & \lim_{x\to x_0} f(x) &= f(x_0) \\ \lim_{x\to x_0} T_{g}(x,x_0) &= g'(x_0) \end{align}.

Enfin, sachant que la limite d'un produit est égale au produit des limites :

\bigl(f(x_0)g(x_0)\bigr)' = \lim_{x\to x_0} T_{fg}(x,x_0) = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0).

Cette relation valable en tout tel point x0 montre la relation attendue entre les fonctions.

En particulier, cette relation admet comme conséquences la règle de dérivation des puissances :

\bigl(f^n\bigr)' = nf'f^{n-1},

et celle pour la dérivée d'un quotient :

\left( \dfrac{f}{g} \right)' = \dfrac{f'g-fg'}{g^2}

Fonction réciproque

Soit f une fonction dérivable et strictement monotone de l'intervalle I sur l'intervalle J = f(I). Si f' ne s'annule par sur I alors la fonction f − 1 est dérivable sur J et

\left(f^{-1}\right)' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}.
Démonstration

On souhaite prouver que f − 1 est dérivable en b = f(a)\in J. En supposant f'(a) \ne 0 , montrons que \lim_{y \to b}{\frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(b)}{y - b}} = {1 \over {f'(a)}}.

La fonction f étant dérivable en a, on a

f'(a) = \lim_{x \to a}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}.

Comme f − 1 est continue en b, le théorème de composition des limites donne

f'(a) = \lim_{y \to b}{\frac{f(f^{-1}(y)) - f(a)}{f^{-1}(y) - a}} = \lim_{y \to b}{\frac{y-b}{f^{-1}(y) - f^{-1}(b)}}.

Cette limite étant non nulle, d'après le théorème sur l'inverse d'une limite, on a

\lim_{y \to b}{\frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(b)}{y-b}} ={ 1 \over f'(a)}
ou encore
\left(f^{-1}\right)'(b) =\frac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}.
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