Preuve par neuf

En arithmétique, la preuve par neuf est une technique permettant de vérifier un calcul mental ou effectué « à la main ». Il ne s'agit pas d'une preuve mathématique au sens strict, car elle peut être mise en défaut dans certains cas. Le principe général est de refaire le calcul beaucoup plus simplement, en remplaçant chaque nombre supérieur ou égal à 10 par la somme de ses chiffres, de façon répétée.

Cette technique est en fait une application des propriétés de l'arithmétique modulaire puisqu'elle revient à calculer modulo 9.

Comment l'appliquer

Supposons que nous ayons calculé . On remplace 17 par la somme de ses chiffres : , de même pour 35, remplacé par . Le résultat de aura pour somme de ses chiffres la même que , soit , lui-même remplacé par .

La preuve par neuf appliquée au produit s'applique ainsi : on calcule la somme des chiffres du résultat trouvé. Si cette somme est différente de 1, notre calcul est faux. Si elle est égale à 1, il y a de fortes chances qu'il soit juste.

Effectivement , or et , lui-même remplacé par .

La preuve par neuf fonctionne également pour vérifier le résultat d'une addition.

Astuces de calcul

Comme 9 est congru à 0 modulo 9, ces deux chiffres jouent le même rôle dans la preuve par neuf : on peut donc remplacer les 9 par des 0, ce qui revient à omettre les 9 dans les calculs des sommes des chiffres. Par exemple, le nombre 1999999992 sera, après plusieurs itérations, remplacé par la somme 1+2.

Lorsqu'on calcule la somme des chiffres, il est astucieux de regrouper ceux dont la somme donne 9, pour ensuite remplacer ce 9 par 0. Par exemple : 1+7+3+8+2 = (1+8)+(7+2)+3 donnera 3.

Pourquoi elle fonctionne

Le principe de la preuve par neuf repose sur la compatibilité de la congruence avec l'addition et la multiplication (on peut donc imaginer une « preuve par n », quel que soit l'entier naturel n supérieur ou égal à 2) et sur le fait que tout nombre entier naturel est congru, modulo 9, à la somme de ses chiffres en écriture décimale.

Cependant parmi toutes ces « preuves », la preuve par 9 est particulièrement pratiquée car le calcul de congruence peut être ramené à une opération très simple : l'addition des chiffres composant le nombre.

Démonstration. Comme 10 est congru à 1, modulo 9, il en est de même de ses puissances : 10² ; 10³, etc. Considérons un nombre entier x dont l'écriture décimale est a_na_{n − 1}...a₁a₀. Cela signifie que , a₀, ..., a_n étant des chiffres, c'est-à-dire des entiers compris entre 0 et 9. Comme toutes les puissances de 10 sont congrues à 1 modulo 9, chaque terme de la forme est congru à a_i, et donc la somme de ses termes est congrue à a_n + a_{n − 1} + ... + a₁ + a₀.

Ses limites

La preuve par neuf est mise en défaut si l'écart entre le nombre trouvé après le calcul et le résultat est un multiple de 9. Par exemple, si le résultat est 1992 et qu'on trouve 1092, l'erreur ne sera pas détectée : pour ces deux nombres, l'algorithme sur la somme des chiffres donnera : 3. Donc la preuve par neuf est sujette aux faux positifs. Mieux, on dira que la preuve par 9 est une condition nécessaire, mais pas suffisante.

Sujets connexes

Multiples de neuf et de trois: La somme des chiffres (modulo neuf) d'un nombre permet de trouver son reste par la division par neuf, et donc d'en déduire s'il est multiple de neuf ou de trois.

Généralisation

La preuve par 9 fonctionne grâce à l'arithmétique modulaire et au fait que le modulo neuf est égal au reste de la somme des chiffres en base dix modulo neuf. Mais qu'en est-t-il dans d'autres bases? On comprend rapidement que en base N on peut utiliser la preuve par N-1. Ainsi en base 16 on peut utiliser la preuve par quinze. Accessoirement ceci donne un test de divisibilité rapide par 5 et par 3.

On peut aussi pour des nombres en base dix utiliser la base cent, avec la preuve par quatre-vingt-dix-neuf, et donc réduire le risque de faux positif de 11 % à 1 %.

Bibliographie

Alexandre Sarrazin de Montferrier, Encyclopédie mathématique ou Exposition complète de toutes les branches des mathématiques d'après les principes de la philosophie des mathématiques de Hoëné Wronski. Première partie, Mathématiques pures. Tome premier, page 35, éd. Amyot, 1856. Ouvrage accessible en ligne sur le site de la Bibliothèque nationale de France : http://gallica.bnf.fr

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