Fonction logarithme

Logarithme

Représentations graphiques du logarithme décimal (vert), du logarithme népérien (noir) et du logarithme binaire (bleu)

En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction $f$ définie sur $\R^*_+$ à valeurs dans $\R$ , continue, non constante, et transformant un produit en somme, c'est-à-dire vérifiant :

$\forall a, b \in \R^*_+,\ f(a\cdot b)=f(a)+f(b)$

Cette propriété impose que toute fonction logarithme soit nulle en 1. On dit que le logarithme est un morphisme de $(\R_+^{*},\cdot)$ vers $(\R,+)$ .

Une fonction logarithme est une bijection de $\R^*_+$ sur $\R$ et l’antécédent de 1 par cette fonction s’appelle la base du logarithme.

Réciproquement, si $b$ est un nombre réel strictement positif et différent de 1, il existe une unique fonction logarithme valant 1 en $b$ . On appelle cette fonction le logarithme de base b, noté $log b (x)$ , et c’est la fonction qui à $x$ associe la puissance à laquelle il faut élever $b$ pour trouver $x$ , c'est-à-dire que $b^{\log_b(x)} = x$ . Les fonctions logarithmes sont ainsi les réciproques des fonctions exponentielles.

Les fonctions logarithmes les plus connues sont le logarithme naturel ou népérien de base $e$ , le logarithme décimal (de base 10, très utilisé en physique) et le logarithme binaire (de base 2, utilisé en informatique, en particulier en théorie de la complexité). Les logarithmes ont été par la suite généralisés au plan complexe (logarithmes complexes) par prolongement analytique et introduits en théorie des groupes (logarithmes discrets) par analogie avec l’analyse.

Sommaire

1 Historique
2 Logarithme décimal
3 Logarithme naturel
4 Propriétés des fonctions logarithmes
5 Notes et références
6 Voir aussi
- 6.1 Articles connexes
- 6.2 Liens externes

Historique

Vers la fin du XVI^e siècle, le développement de l'astronomie et de la navigation d'une part et les calculs bancaires d'intérêts composés d'autre part, poussent les mathématiciens à chercher des méthodes de simplifications de calculs et en particulier des relations entre des suites arithmétiques et des suites géométriques. Les mathématiciens Paul Wittich (1546—1586) et Christophe Clavius, dans leur livre De Astrolabio établissent une correspondance entre somme et produit de deux nombres inférieurs à 1 en utilisant les relations trigonométriques : $x \times y=\sin(a)\times \cos(b)=\frac{\sin(a-b)+\sin(a+b)}{2}.$

Simon Stévin, intendant général de l'armée hollandaise, met au point des tables de calculs d'intérêts composés. Ce travail est poursuivi par Jost Bürgi qui publie en 1620, dans son Aritmetische und geometrische Progress-tabulen, une table de correspondance entre $n$ et $1,0001 n$ . À une somme dans la première colonne correspond ainsi un produit dans la seconde colonne^[1]

En 1614, John Napier (ou Neper) publie son traité Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Il ne songe pas qu’il est en train de créer de nouvelles fonctions, mais seulement des tables de correspondances (logos = rapport, relation, arithmeticos = nombre) entre deux séries de valeurs possédant la propriété suivante : à un produit dans une colonne correspond une somme dans une autre. Ces tables de correspondances ont été créées initialement pour simplifier les calculs trigonométriques apparaissant dans les calculs astronomiques et seront utilisées quelques années plus tard par Kepler. La notation Log comme abréviation de logarithme apparait en 1616 dans une traduction anglaise de l'oeuvre de Neper^[2]. En 1619, apparaît une œuvre posthume de Neper Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, où il explique comment construire une table logarithmique (voir Table de logarithmes pour en comprendre le principe).

Son travail sera poursuivi et prolongé par le mathématicien anglais Henry Briggs qui publie en 1624 ses tables de logarithmes décimaux (Arithmética logarithmica) et précise les méthodes d’utilisation des tables pour calculer des sinus, retrouver des angles de tangente... Le logarithme décimal est parfois appelé logarithme de Briggs en son honneur. La même année, Johann Kepler publie Chilias logarithmorum construites en utilisant un procédé géométrique^[3]. La table de Briggs présente les logarithmes à 14 chiffres des nombres compris entre 1 et 20 000 et entre 90 000 et 100 000. Son travail est complété par Ezechiel de Decker et Adriaan Vlacq qui publient en 1627 une table de logarithmes complète^[4].

En 1647, lorsque Grégoire de Saint-Vincent travaille sur la quadrature de l’hyperbole, il met en évidence une nouvelle fonction qui se trouve être la primitive de la fonction $x \mapsto 1/x$ s’annulant en 1 mais c’est Huygens en 1661 qui remarquera que cette fonction se trouve être une fonction logarithme particulière : le logarithme naturel.

La notion de fonction, la correspondance entre les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmes n’apparaissent que plus tardivement après le travail de Leibniz sur la notion de fonction (1697).

Logarithme décimal

Article détaillé : logarithme décimal.

C’est le logarithme le plus pratique dans les calculs numériques, il est noté log ou $log 10$ . On le retrouve dans la création des échelles logarithmiques, les repères semi-logarithmiques ou log-log, dans la règle à calcul, dans le calcul du pH, dans l’unité du décibel.

Il précise à quelle puissance il faut élever 10 pour retrouver le nombre de départ. Par exemple :

si x=10, log(10) = 1 car 10¹ = 10

si x=100, log(100) = 2 car 10² = 100

si x=1000, log(1000) = 3 car 10³ = 1000

si x=0,01, log(0,01) = -2 car 10^-2 = 0,01

La valeur du logarithme d’autres nombres que des puissances de 10 demande un calcul approché. Le calcul de $log(2)$ par exemple peut se faire à la main, en remarquant que $2^{10} \approx 1000$ donc $10\log(2) \approx 3$ donc $\log(2) \approx 0,3$ .

Logarithme naturel

Article détaillé : logarithme naturel.

Le logarithme naturel, ou logarithme népérien, est le logarithme dont la dérivée est la plus simple. C’est d’ailleurs le fait qu’il soit une primitive de $x \mapsto 1/x$ qui lui a donné cette importance. Il est noté « Log » ou « ln ». En revanche, quand il a fallu chercher la base de ce logarithme, les mathématiciens ne sont pas tombés sur une valeur très simple : la base de ce logarithme est un nombre, ni décimal, ni rationnel, ni algébrique : c’est le nombre transcendant e $\approx 2,718\ 281\ 828\ 459\ 045\ 235\ 360\cdots$ .

Propriétés des fonctions logarithmes

Propriétés algébriques et construction

Article détaillé : Identités logarithmiques.

Pour tout réel $a$ strictement positif et différent de 1, le logarithme de base $a$ : $log a$ est la fonction continue définie sur $\R^*_+$ vérifiant :

pour tous

x

y

réels strictement positifs,

log a (x y) = log a (x) + log a (y)

$\log_a(a) = 1\,$

Cette définition permet de déduire rapidement les propriétés suivantes

$\log_a(1) = 0\,$

$\log_a(x/y) = \log_a(x) - \log_a(y)\,$

$\log_a(x^n)=n \log_a(x)\,$

$\log_a(a^n) = n\,$ pour tout entier naturel

n

, puis pour tout entier relatif

n

$\log_a(a^r) = r\,$ pour tout rationnel

r

Comme tout réel strictement positif $x$ peut être considéré comme limite de termes de la forme $a^{r_n}$ , où $(r n)$ est une suite de rationnels convergeant vers un réel $\ell$ , on détermine $log a (x)$ comme la limite de $r n$ .

Proportionnalité

Deux fonctions logarithmes ne diffèrent que d’une constante multiplicative près : pour tous réels strictement positifs différents de 1, $a$ et $b$ , il existe un réel $k$ tel que

$\log_b = k\,\log_a$

Ce réel $k$ vaut $\frac{1}{\log_a(b)}$

En effet $log b$ est la fonction continue qui transforme un produit en somme et qui vaut 1 en $b$ , mais, pour tout réel $k$ non nul, la fonction $k log a$ est aussi une fonction continue, non constante qui transforme un produit en somme et cette fonction vaut 1 en b si et seulement si

$k=\frac{1}{\log_a(b)}$ .

Toutes les fonctions logarithmes peuvent donc s’exprimer à l’aide d’une seule, une dont on connaît déjà la dérivée : la fonction logarithme népérien. Pour tout réel $a$ strictement positif et différent de 1, et pour tout réel $x$ strictement positif, on a :

$\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}$

Dérivée

La fonction $log a$ est dérivable sur $\R_+^*$ de dérivée :

$\log_a'(x) = \frac{1}{x\ln(a)}$

Elle est donc strictement monotone, croissante quand $a$ est supérieur à 1, décroissante dans le cas contraire.

C’est une bijection dont la réciproque est la fonction $x \mapsto a^x$

Curiosité mathématique

Avec une erreur inférieure à 0,6% on a :

$\log_2(x) \approx \log_{10}(x) + \ln(x)\,$ .

(voir la démonstration)

Notes et références

↑ Petite encyclopédie de mathématiques (p 72). Edition Didier (1980)
↑ Math93:Origine et histoire des symboles mathématiques
↑ (en) Présentation de Chilias Logarithmorum sur Watson Antiquarian books
↑ Petite encyclopédie de mathématiques (p 72). Edition Didier (1980)

Voir aussi

Liens externes

Une histoire des logarithmes sur le site de l’Université libre de Bruxelles

Portail des mathématiques

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