Polynôme minimal d'un endomorphisme

Le polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser des résultats de la théorie des polynômes à l'algèbre linéaire. Il est en effet possible d'appliquer un polynôme à un endomorphisme, comme expliqué dans l'article intérêt du concept de polynôme d'endomorphisme.

Il est défini comme le polynôme normalisé (son coefficient de plus haut degré est égal à 1) de plus petit degré qui annule un endomorphisme c'est-à-dire une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui-même.

Il est utilisé essentiellement en dimension finie ; il joue un rôle important dans la réduction d'endomorphisme. Il dispose de propriétés fortes dont la plus célèbre est probablement le théorème de Cayley-Hamilton.

Les démonstrations associées au polynôme minimal se trouvent essentiellement dans l'article Polynôme d'endomorphisme qui approfondit ce concept dans un cadre théorique plus large.

Il existe un cas particulier, utilisé dans le cadre de la théorie de Galois et la théorie algébrique des nombres appelée polynôme minimal d'un nombre algébrique.

Définition

On suppose que E est un espace vectoriel de dimension finie et égale à n. Soit u un endomorphisme de E. Nous avons la définition suivante:

• Le polynôme minimal de l'endomorphisme u est le polynôme unitaire de plus petit degré qui annule u.

Intérêt du concept

Le polynôme minimal est l'outil théorique central pour la réduction d'endomorphisme dans le cas de la dimension finie. Une réduction est une approche fréquente en algèbre, consistant à réduire un concept en des sous-concepts plus simples et qui décrivent parfaitement le concept initial. Dans le cas des endomorphismes, il en existe deux ayant un rôle particulier, les endomorphismes nilpotents et les endomorphismes diagonalisables ; les polynômes minimaux apparaissent donc pour l'analyse théorique de ces applications linéaires.

La raison du rôle central de cet outil réside dans le fait que la notion de polynôme d'endomorphisme est le cadre théorique pour la démonstration des théorèmes permettant la réduction. Le polynôme minimal y joue un rôle clé. Les démonstrations associées à cet article se trouvent naturellement traitées dans l'article associé.

Par delà son rôle théorique, le polynôme minimal propose une approche appliquée très opérationnelle. Il joue donc un rôle dans l'analyse des matrices en général et plus particulièrement dans le cas de la Réduction de matrice, des Matrices diagonales ou nilpotentes.

Sa dimension appliquée sort des frontières de l'algèbre linéaire pour offrir un outil opérationnel de résolution d'équations différentielles linéaires où il est utilisé dans de cas physiques comme les systèmes oscillants.

Approche par l'exemple

Considérons le cas où n est égal à 2, où l'espace vectoriel est réel, ce qui signifie que les multiplications scalaires des vecteurs ont lieu sur les réels. Soit un endomorphisme u ayant la représentation matricielle suivante dans une base (e₁, e₂):

Calculons alors la représentation matricielle du carré de u, on trouve:

Existence du polynôme minimal

On peut alors remarquer qu'il existe une relation de dépendance linéaire entre u², u et Id l'endomorphisme identité. En effet:

Ce qui nous montre l'existence du polynôme minimal que nous notons

Dans cet exemple, nous avons montré l'existence du polynôme minimal et nous avons montré que son degré est égal à la dimension de l'espace vectoriel. Cette propriété est générale en dimension finie, le polynôme minimal existe toujours et son degré est inférieur ou égal à la dimension de l'espace.

Valeurs propres et racines

Un vecteur propre est un vecteur non nul dont l'image par l'endomorphisme lui est proportionnelle. Une des propriétés du polynôme minimal réside dans le fait que ses racines sont les valeurs propres. Recherchons alors des vecteurs propres en utilisant cette propriété. Pour la valeur propre 2, on trouve:

et un vecteur propre est: u₁ = e₁ − e₂

En résolvant ce système nous obtenons x = − y. En posant x = λ , nous obtenons y = − λ, qui est la description paramétrique de tout vecteur propre. En choisissant λ = 1, nous obtenons le vecteur propre (1,-1)

On peut vérifier de même que est un vecteur propre associé à la valeur propre 3. Cette approche permet de calculer les valeurs et vecteurs propres sans calcul de déterminant. Plus la dimension augmente, plus ce mode de calcul devient efficace.

Polynôme minimal et diagonalisation

Nous disposons de deux vecteurs propres u₁ et u₂ qui forment une famille libre dans un espace de dimension 2, ils constituent donc une base. Nous pouvons alors remarquer que dans cette base, l'endomorphisme s'exprime sous la forme:

Une telle matrice possède des termes tous nuls en dehors de la diagonale. Cet exemple illustre une propriété importante du polynôme minimal. L'endomorphisme est diagonalisable si et seulement si le polynôme minimal est scindé à racines simples sur le corps dans le quel on travaille.

Polynôme minimal et polynôme caractéristique

Le polynôme caractéristique correspond au déterminant de l'application . À l'instar du polynôme minimal, ses racines sont aussi les valeurs propres. Calculons alors le polynôme caractéristique P de notre endomorphisme:

Le polynôme caractéristique est dans ce cas égal au polynôme minimal. Dans le cas général, le polynôme minimal divise toujours le polynôme caractéristique (c'est le théorème de Cayley-Hamilton) mais l'égalité n'est pas systématique.

Propriétés

• En dimension finie, le polynôme minimal existe toujours et il est de degré inférieur ou égal à la dimension de l'espace.
• Les polynômes qui annulent l'endomorphisme et que l'on appelle polynômes annulateurs de u forment un idéal principal dans l'anneau des polynômes.

La notion de polynôme minimal d'un endomorphisme peut être restreinte à un vecteur. Le polynôme minimal d'un vecteur x est le polynôme normalisé de plus petit degré qui, appliqué à u, annule x.

• Si x est un vecteur, alors le polynôme minimal de x divise le polynôme minimal. Il existe au moins un vecteur tel que les deux polynômes soient égaux.
• Les racines du polynôme minimal forment l'ensemble des valeurs propres.
• Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé (c'est-à-dire qu'il possède toutes ses racines) sans racine multiple.
• Le Théorème de Cayley-Hamilton nous indique que le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique.

Toutes ces propriétés sont démontrées dans l'article Polynôme d'endomorphisme qui développe la théorie mathématique associée à ce concept et présente d'autres propositions plus avancées.

Théorie de Galois

En théorie de Galois, étant donnés une extension de corps et un élément α de qui est algébrique sur , le polynôme minimal de α est le polynôme normalisé p, à coefficients dans , de degré minimum tel que p(α)=0. Le polynôme minimal est irréductible, et tout autre polynôme non nul q tel que q(α)=0, est multiple de p.

C'est en fait le polynôme minimal de l'endomorphisme de défini par u(x) = αx où est considéré comme un -espace vectoriel.

v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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