Ideal principal

Ideal principal

Idéal principal

En mathématiques, plus particulièrement dans la théorie des anneaux, un idéal principal est un idéal engendré par un unique élément.

Sommaire

Définition

Soit A un anneau. Soit I un idéal de A.

  • I est dit principal à gauche s'il existe un élément a\in I tel que, pour tout x\in I, il existe un élément y\in A tel que x = y.a : I=\{x.a|x\in A\}. On note I = Aa.
  • I est dit principal à droite s'il existe un élément a\in I tel que, pour tout x\in I, il existe un élément y\in A tel que x = a.y : I=\{a.x|x\in A\} On note I = aA.

I est dit principal s'il est principal à la fois à gauche et à droite (ce qui est toujours le cas si A est commutatif). Dans ce cas, on peut noter I = a.A et I est forcément le plus petit idéal contenant a.

Exemples

Pour tout entier relatif k, k\mathbb Z=\{k.x|x\in\mathbb Z\} est un idéal principal de \mathbb Z.

Un idéal n'est pas forcément principal. Par exemple, si A=\mathbb C[X,Y], l'anneau commutatif des polynômes à deux indéterminées à coefficients complexes, l'ensemble des polynômes ayant un terme constant nul, noté (X,Y) car engendré par ces deux variables, est un idéal de \mathbb C[X,Y], mais il n'est pas principal : si P engendrait (X,Y), X et Y seraient divisibles par P, ce qui est impossible, sauf si P est un polynôme constant non-nul, ce qui est contradictoire.

Anneau principal

Un anneau intègre dont tous les idéaux sont principaux est dit anneau principal.

Par exemple, \mathbb Z ou l'anneau \mathbb K[X] des polynômes sur un corps \mathbb K sont des anneaux principaux.

Voir aussi

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