Élément irréductible

Sommaire 1 Introduction 2 Éléments premiers entre eux et élément irréductible 3 Éléments premiers entre eux au sens de Gauss (ou indissolubles) et élément premier 4 Éléments étrangers et élément extrémal 5 Propriétés

Introduction

Dans l'anneau des entiers, il existe différentes caractérisations des nombres premiers et des nombres premiers entre eux qui, dans un anneau quelconque, conduisent à des notions différentes.

Dans la suite, A est un anneau commutatif unitaire intègre, a et b sont deux éléments ≠ 0 de A, et p est un élément non nul et non inversible de A. La notation (a) désigne l'idéal principal engendré par a.

Éléments premiers entre eux et élément irréductible

• On dit que a et b sont premiers entre eux ou que a est premier avec b si tout diviseur commun à a et b est inversible, ce qui s'écrit plus simplement :

PGCD(a,b)=1

Condition équivalente : (a) + (b) n’est inclus dans aucun idéal principal propre de A.

Probablement par influence des polynômes, la propriété P définie par "p a la propriété P s'il est premier avec tout élément qu'il ne divise pas" ne conduit pas à la notion d'élément premier, mais à celle d'élément irréductible :

• On dit que p est irréductible si les seuls diviseurs de p sont les inversibles ou les éléments associés à p (i.e. p = ab implique a ou b inversible).

Condition équivalente : (p) est maximal dans l’ensemble des idéaux principaux propres de A.

• Proposition: Dans un anneau intègre, tout élément p premier est irréductible.

Éléments premiers entre eux au sens de Gauss (ou indissolubles) et élément premier

• On dit que a et b sont premiers entre eux au sens de Gauss (ou indissolubles entre eux) si pour tout élément x de A,

si a divise bx, alors a divise x.

Conditions équivalentes :

1. a est simplifiable dans l'anneau A / (b)
2. a n’est pas un diviseur de 0 dans A / (b)
3. un élément de A multiple de a et b est multiple de ab
4. ab = PPCM(a,b)

La définition correspondante est alors :

• p est dit premier (ou indissoluble) si lorsque p divise un produit d’éléments de A, il divise l’un des termes.

Conditions équivalentes :

1. A / (p) est intègre
2. (p) est un idéal premier de A

Éléments étrangers et élément extrémal

La notion d'éléments étrangers correspond à la caractérisation des nombres premiers entre eux par le théorème de Bachet-Bézout.

• On dit que a et b sont étrangers s'il existe u et v de A tels que au + bv = 1, condition qui s'écrit plus simplement sous la forme

(a) + (b) = A

On remarquera alors que, quand l'anneau est unitaire, 1 est étranger à lui même.

La définition correspondante est alors :

• On dit que p est extrémal si (p) est un idéal maximal de A

Condition équivalente : tout élément de A non multiple de p est inversible modulo p, ce qui équivaut à l'importante propriété :

"A / (p) est un corps".

Propriétés

• p est (irréductible, premier, extrémal) ssi p est (premier, indissoluble, étranger) avec tout élément de A qu’il ne divise pas.

• étrangers => indissolubles entre eux => premiers entre eux.
  Les réciproques sont fausses :
  Dans K[X,Y], X et Y sont indissolubles entre eux mais pas étrangers.
  Dans A = { / P est formé de monômes de degré total pair}, XY et X² sont premiers entre eux mais pas indissolubles entre eux (car XY divise X²Y² mais pas Y²).

• extrémal => premier => irréductible.
  Les réciproques sont fausses :
  Dans K[X,Y], X est premier non extrémal.
  Dans A défini ci-dessus, XY est irréductible mais non premier (il divise X²Y² mais ni X², ni Y²).

• Dans un anneau de Gauss (anneau où tout couple d'éléments possède un PGCD), et donc en particulier dans un anneau factoriel, premiers entre eux équivaut à indissolubles entre eux (donc irréductible équivaut à premier).

• Dans un anneau de Bézout (anneau commutatif unitaire intègre dans lequel tout idéal de type fini est principal), et donc en particulier dans un anneau principal (comme ou K[X]), les trois notions (étrangers, indissolubles entre eux, premiers entre eux) sont équivalentes (donc irréductible équivaut à premier équivaut à extrémal).